شرح الأجور والاستقطاعات

Earnings and Deductions

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Money In, Money Out

المال يدخل على شكل أجر، ويخرج في الفواتير والمشتريات، ومعظم الأسئلة تقوم على فكرة واحدة: كم مرة يتكرر السعر، ثم نجمع أو نطرح. الأجر يساوي عدد الساعات مضروبًا في أجر الساعة الواحدة. تعلّم المصطلحات في الجدول: العمل الإضافي ساعات زائدة بأجر أعلى، و«الأجر ونصف» يعني الأجر العادي مضروبًا في واحد ونصف. الأجر الإجمالي قبل أي خصم، والأجر الصافي بعد خصم الضريبة وغيرها. والمكافأة أو العمولة أجر إضافي يكون نسبة مما تبيع، والباقي هو ما دفعته ناقص المجموع.

Money comes in as pay. Money goes out on bills and shopping. Almost every question uses one idea: how many times the price, then add or take away.

Formula

pay = hours \times rate

The hours are how long you work. The rate is the pay for one hour.

Word	Meaning
Overtime	extra hours, paid at a higher rate
Time and a half	1.5 × the normal rate
Gross pay	pay before anything is taken off
Net pay	pay after tax and other deductions are taken off
Bonus or commission	extra pay, a percentage of what you sell
Change	the note you pay with, minus the total

Key idea

Time and a half on $14 an hour is $1.5 \times 14 = $21$ an hour.

2. A Week's Pay with Overtime

معظم أسئلة الأجر هكذا: أجر عادي لعدد أول من الساعات، وأجر أعلى لكل ساعة زائدة. احسب الجزأين منفصلين ثم اجمعهما. أولًا أوجد ساعات العمل الإضافي، وهي كل ما زاد على الساعات العادية. ثم احسب الأجر العادي، ثم أجر الساعة الإضافية: إذا كان أعلى بنسبة معينة فاضرب الأجر العادي في المضاعف المناسب. بعدها اضرب الساعات الإضافية في أجرها، واجمع الجزأين. الخطأ الشائع: حساب كل الساعات بالأجر الأعلى. وتذكّر: أجر الساعة يساوي الأجر مقسومًا على الساعات، وأجر السنة هو أجر الأسبوع مضروبًا في اثنين وخمسين أسبوعًا.

Most pay questions start here: a normal rate for the first hours, and a higher rate for any extra hours. Work out the two parts separately, then add.

Sami is paid $16 an hour for the first 38 hours of a week. Each extra hour is paid 25% more. One week he works 44.5 hours. How much is he paid?

Worked example

1
$44.5 - 38 = 6.5$ — Find the overtime hours first: everything after the first 38 hours. That is 6.5 hours.
2
$38 \times 16 = 608$ — The normal pay: 38 hours at the normal $16 rate.
3
$16 \times 1.25 = 20$ — The overtime rate. 25% more means 100% + 25% = 125% of $16, so multiply by 1.25.
4
$6.5 \times 20 = 130$ — The overtime pay: overtime hours × overtime rate.
5
$608 + 130 = $738$ — Add the normal pay and the overtime pay to get the week’s total pay.

Common mistake

Paying all 44.5 hours at the higher rate. Only the hours after the first 38 get the overtime rate.

Rule

Other ways round: rate for one hour = pay ÷ hours. Pay for a year = pay for one week × 52, because a year has 52 weeks.

3. Working Backwards: Overtime Hours

هنا يعطيك السؤال أجر الأسبوع كاملًا ويطلب عدد ساعات العمل الإضافي، فنعمل بالعكس. أولًا احسب الأجر العادي للساعات العادية. ثم احسب أجر الساعة الإضافية، و«الأجر ونصف» يعني الأجر العادي مضروبًا في واحد ونصف. اطرح الأجر العادي من أجر الأسبوع، فالباقي هو ما كُسب في العمل الإضافي، ثم اقسمه على أجر الساعة الإضافية لتعرف عدد الساعات. تحقق بالجمع عكسيًا. الخطأ الشائع: قسمة أجر الأسبوع كله على أجر الساعة الإضافية دون طرح الأجر العادي أولًا.

The 4-mark question gives the week’s pay and asks for the overtime hours. Take off the normal pay, then divide by the overtime rate.

Normal pay is $15 an hour for 38 hours. Overtime is time and a half. The week's pay is $795. How many overtime hours?

Worked example

1
$38 \times 15 = 570$ — Normal pay first: 38 hours at the normal $15 rate.
2
$1.5 \times 15 = 22.50$ — The overtime rate. Time and a half means 1.5 × the normal rate.
3
$795 - 570 = 225$ — Take the normal pay off the week’s pay. What is left was earned in overtime.
4
$225 \div 22.50 = 10$ — Each overtime hour pays $22.50, so divide to count the hours: 10 hours.

Key idea

Check: $570 + 10 \times 22.50 = 795$ . It matches the week’s pay.

Common mistake

Dividing the whole $795 by the overtime rate. Take off the normal pay first.

4. Bonus and Commission

بعض الوظائف تدفع مبلغًا ثابتًا مع نسبة مئوية مما تبيعه، وهذه الزيادة تسمى مكافأة أو عمولة. الأجر الكلي يساوي الأجر الأساسي زائد النسبة مضروبة في قيمة المبيعات، واكتب النسبة عددًا عشريًا. وغالبًا يعطيك الامتحان الأجر الكلي ويطلب المبيعات: احسب الأجر الأساسي أولًا، ثم اطرحه من الأجر الكلي لتحصل على العمولة. العمولة هي نسبة من المبيعات، فاقسمها على النسبة لتجد واحدًا بالمئة من المبيعات، ثم اضرب في مئة لتجد المبيعات كاملة. تحقق في النهاية بحساب العمولة وجمعها مع الأجر الأساسي.

Some jobs pay a fixed amount plus a percentage of what you sell. This extra is called a bonus or commission.

Formula

total pay = basic pay + percentage \times sales

Basic pay is the fixed part (for example rate × hours). Sales is the value of everything sold. Write the percentage as a decimal: 4% = 0.04.

Exams often give the total pay and ask for the sales. Lina is paid $11 an hour plus 4% of the value of what she sells. She works 6 hours and is paid $90. What was the value of her sales?

Worked example

1
$6 \times 11 = 66$ — The basic pay: 6 hours at $11 an hour.
2
$90 - 66 = 24$ — Take the basic pay off the total. What is left, $24, is the bonus.
3
$24 \div 4 = 6$ — The bonus is 4% of the sales. Divide by 4 to find 1% of the sales: $6.
4
$6 \times 100 = $600$ — 100% of the sales is 100 times 1%. So she sold $600 of goods.
5
$0.04 \times 600 = 24$ — Check: 4% of $600 is $24, and 66 + 24 = 90. It matches the pay in the question.

Key idea

Forwards is quicker: basic pay $2000 plus 3% of $15 000 sales is $2000 + 0.03 \times 15000 = 2000 + 450 = $2450$ .

5. Total Cost and Change

أكثر سؤال شائع: اجمع قائمة من التكاليف ثم أوجد الباقي من ورقة نقدية. لكل صنف اضرب عدد القطع في سعر القطعة الواحدة، ثم اجمع المبالغ لتحصل على التكلفة الكلية. الباقي هو قيمة الورقة النقدية ناقص التكلفة الكلية، ويجب أن يكون أقل من قيمة الورقة. انتبه في الفواتير التي فيها دقائق مجانية: الدقائق الزائدة فقط هي التي تُدفع، فاطرح الدقائق المجانية أولًا ثم اضرب الباقي في سعر الدقيقة وأضف الرسم الشهري.

The most common question: add up a list of costs, then find the change from a note.

You buy 3 notebooks at $2.45 each and 2 pens at $1.80 each. You pay with $20.

Worked example

1
$3 \times 2.45 = 7.35$ — The notebooks: number bought × price of one, so 3 lots of $2.45.
2
$2 \times 1.80 = 3.60$ — The pens, the same way: 2 lots of $1.80.
3
$7.35 + 3.60 = 10.95$ — Add the two amounts. This is the total cost of the shopping.
4
$20 - 10.95 = $9.05$ — Change is the note minus the total. It is less than $20, so it makes sense.

Common mistake

On a bill with free minutes, only the extra minutes cost money. $15 a month plus $0.08 a minute after 200 free: for 260 minutes you pay for 60, so $15 + 60 \times 0.08 = $19.80$ .

6. Working Backwards: One Price

هنا يعطيك السؤال المجموع أو الباقي ويطلب سعر قطعة واحدة، فنعمل بالعكس: اطرح كل ما تعرفه ثم اقسم. أولًا أوجد ما صُرف فعلًا: قيمة الورقة النقدية ناقص الباقي. ثم احسب تكلفة الأصناف المعروفة واجمعها. اطرح التكاليف المعروفة من المجموع، فالباقي هو ثمن القطع المجهولة كلها معًا، ثم اقسمه على عددها لتجد سعر القطعة الواحدة. تحقق بالجمع عكسيًا. الخطأ الشائع: القسمة على عدد كل المشتريات، والصحيح القسمة على عدد الصنف المجهول فقط.

The 3- or 4-mark question gives the total, or the change, and asks for the price of one item. Take off everything you know, then divide.

Omar buys 3 sandwiches at $2.65 each, a juice for $1.40 and 4 cakes that cost the same. He pays with a $20 note and gets $4.25 change. What does one cake cost?

Worked example

1
$20 - 4.25 = 15.75$ — Find what he spent. The note minus the change is the total cost.
2
$3 \times 2.65 = 7.95$ — The sandwiches: number bought × price of one.
3
$7.95 + 1.40 = 9.35$ — Add the juice. Now you have everything you know.
4
$15.75 - 9.35 = 6.40$ — Take the known costs off the total. What is left is the price of the 4 cakes together.
5
$6.40 \div 4 = $1.60$ — The 4 cakes cost the same, so divide by 4 to get the price of one.

Key idea

Check by adding back: $7.95 + 1.40 + 4 \times 1.60 = 15.75$ , and 20 − 15.75 = 4.25. It matches the change.

Common mistake

Taking the change off the known costs, or dividing by every item bought. Divide only by the number of the missing item.

7. How Many Can You Buy?

عندك ميزانية وتريد شراء أكبر عدد ممكن: اقسم ثم قرّب إلى الأسفل. أولًا ادفع ثمن الأشياء الثابتة، فالمال الباقي هو ما تصرفه على القطع الأخرى. اقسم المال الباقي على سعر القطعة الواحدة، ثم قرّب الناتج إلى الأسفل لأنك لا تستطيع شراء جزء من قطعة، والتقريب إلى الأعلى يكلّف أكثر مما معك. وإذا طُلب الباقي فاحسب ثمن القطع ثم اطرحه من المال الباقي. لكن انتبه: إذا كنت تحتاج كمية «تكفي» فالعكس صحيح، وتقرّب إلى الأعلى.

The 3-mark question: you have a budget and want as many as you can. Divide, then round DOWN.

You have $10. You buy a notebook for $2.50 and as many pencils at $0.85 as you can.

Worked example

1
$10 - 2.50 = 7.50$ — Pay for the notebook first. The money left is what you can spend on pencils.
2
$7.50 \div 0.85 = 8.82 \dots$ — Divide the money left by the price of one pencil to see how many fit.
3
$8 pencils$ — Round DOWN. You cannot buy part of a pencil, and 9 would cost more than you have.
4
$8 \times 0.85 = 6.80$ — If they ask for the change, first find what the 8 pencils cost.
5
$7.50 - 6.80 = $0.70$ — The change: money left minus the cost of the pencils.

Common mistake

Rounding 8.82 up to 9. Nine pencils cost $7.65, more than you have.

Key idea

Needing ENOUGH is the other way round. 5 kg of rice in 0.75 kg bags: $5 \div 0.75 = 6.67$ , so buy 7 bags.

8. Special Offers

في عروض مثل «ادفع ثمن اثنتين وخذ الثالثة مجانًا»، قسّم القطع أولًا إلى مجموعات العرض الكاملة. في كل مجموعة كاملة تدفع ثمن القطعتين فقط، أما القطع الزائدة التي لا تكمل مجموعة فتدفع ثمنها كاملًا. اجمع عدد القطع المدفوعة ثم اضربه في سعر القطعة الواحدة. الخطأ الشائع: خصم الثلث من كل القطع، مع أن القطع خارج المجموعات الكاملة تُدفع كاملة. أما عروض الخصم بالنسبة المئوية فلها درس خاص، وعند المقارنة احسب كل عرض ثم قارن.

The 4-mark question: an offer like pay for 2, get 1 free. Split the items into offer groups first.

Cans cost $0.90. Pay for 2, get 1 free. You want 20 cans.

Worked example

1
$20 = 6 \times 3 + 2$ — Split the 20 cans into offer groups of 3 (2 paid, 1 free): 6 full groups and 2 cans left over.
2
$6 \times 2 = 12$ — In each full group you pay for only 2 cans, so 12 paid cans.
3
$12 + 2 = 14$ — The 2 left-over cans are not in a full group, so you pay for them too.
4
$14 \times 0.90 = $12.60$ — Number of cans you pay for × the price of one can.

Common mistake

Taking a third off all 20 cans. The 2 cans outside a full group are paid in full.

Key idea

An offer like 20% off uses the Percentage Increases and Decreases lesson. Work out each offer, then compare.

9. Best Buy: Compare the Price of One

المتاجر تبيع الشيء نفسه بأحجام مختلفة، ولمعرفة الأفضل قيمة احسب سعر الكمية نفسها لكل حجم، مثل سعر الكيلوغرام الواحد. اقسم السعر على عدد الكيلوغرامات لكل كيس، ثم قارن: الأرخص للكيلوغرام هو الأفضل قيمة. اكتب أي كيس هو الأفضل واذكر السعرين معًا. الخطأ الشائع: اختيار الكيس الأرخص ثمنًا، مع أنه أرخص فقط لأن فيه كمية أقل. وإذا كان هناك عرضان، فاحسب تكلفة العدد نفسه من القطع في كل متجر ثم قارن.

Shops sell the same thing in different sizes. To find the better value, work out the price of the same amount, such as 1 kg, for each.

Rice comes in a 2 kg bag for $3.40 or a 5 kg bag for $8.25. Which is better value?

Worked example

1
$3.40 \div 2 = 1.70$ — The small bag: price ÷ kilograms gives the price of 1 kg, $1.70.
2
$8.25 \div 5 = 1.65$ — The big bag, the same way: $1.65 for 1 kg.
3
$1.65 < 1.70$ — The 5 kg bag is better value, because each kilogram costs less. Say which bag AND give both prices.

Common mistake

Choosing the 2 kg bag because $3.40 is less. It is cheaper only because you get less rice. Compare the price of 1 kg.

Key idea

Two offers? Work out the cost of the same number of items at each shop. Tins at $1.20, buy one get one half price, against 6 tins for $6.30. For 6 tins the first shop is $3 \times (1.20 + 0.60) = $5.40$ , so it is cheaper.

10. Which Method? Read the Question

انظر إلى ما يطلبه السؤال، والجدول يدلّك على الطريقة. للباقي من ورقة نقدية: اجمع التكاليف واطرح من الورقة. للعمل الإضافي: احسب كل جزء بأجره ثم اجمع. للعمولة: الأجر الأساسي زائد النسبة مضروبة في المبيعات. لإيجاد ساعات أو سعر قطعة مجهولة: اطرح ما تعرفه ثم اقسم. «أكبر عدد ممكن» يعني القسمة والتقريب إلى الأسفل، و«ما يكفي» يعني التقريب إلى الأعلى. لعروض «ادفع اثنتين وخذ واحدة» عُدّ المجموعات الكاملة، وللأفضل قيمة قارن سعر الوحدة. تحقق أن الباقي أقل من الورقة وأن عدد القطع عدد صحيح، واكتب كل سطر لأن معظم الدرجات على خطوات الحل.

Look at what the question asks you to find.

You see	You do
Change from a note	add the costs, take from the note
Normal and overtime hours	pay each part at its own rate, then add
Pay plus % of sales	basic pay + percentage × sales
Find the overtime hours or one price	take off what you know, then divide
As many as you can	divide, round down
Enough bags or tins	divide, round up
Pay for 2, get 1 free	count full groups of 3
Which is better value?	find the price of 1 kg (or 1 item) for each
% off, or a pay rise of %	Percentage Increases and Decreases
Bought, sold, profit	Profit and Loss

Key idea

Check your answer makes sense: change is less than the note, and a count of items is a whole number.

Key idea

Show every line. In a 3- or 4-mark money question most of the marks are for the working, so a slip at the end still scores.

تدرّب على الأجور والاستقطاعات

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الأجور والاستقطاعات

1. Money In, Money Out

2. A Week's Pay with Overtime

3. Working Backwards: Overtime Hours

4. Bonus and Commission

5. Total Cost and Change

6. Working Backwards: One Price

7. How Many Can You Buy?

8. Special Offers

9. Best Buy: Compare the Price of One

10. Which Method? Read the Question

تدرّب على الأجور والاستقطاعات

أسئلة امتحانات سابقة على الأجور والاستقطاعات، محلولة ومشروحة بالعربي