شرح المعادلة على الصورة ax + by + c = 0

Equation in the Form ax + by + c = 0

يأتي في امتحانات Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. One Line, Two Ways to Write It

يمكن كتابة الخط نفسه بطريقتين تعطيان النقاط نفسها تمامًا. صورة الميل: الإحداثي الصادي في طرف وحده، فتقرأ منها الميل والجزء المقطوع من المحور الصادي مباشرة. والصورة العامة: كل الحدود في طرف واحد والصفر في الطرف الآخر. والقاعدة في الصورة العامة أن تكون المعاملات كلها أعدادًا صحيحة، لا كسورًا.

The same line can be written two ways. They give exactly the same points.

Gradient form

y = 2 x - 5

shows m and c

General form

2 x - y - 5 = 0

everything on one side

Rule

For $a x + b y + c = 0$ : every term on one side, 0 on the other, and a, b and c whole numbers.

2. From y = mx + c to ax + by + c = 0

كثيرًا ما يطلب السؤال كتابة المعادلة بالصورة العامة: كل الحدود في طرف والصفر في الطرف الآخر، بمعاملات صحيحة. إذا كان في المعادلة كسر فتخلّص منه أولًا: اضرب كل حد في مقام الكسر، وكل حد يعني كل حد بما فيه الحد الثابت. ثم انقل حد المجهول الصادي إلى الطرف الآخر ليصبح أحد الطرفين صفرًا، واختر النقل الذي يُبقي حد المجهول السيني موجبًا. ثم بدّل الطرفين لتكون المعادلة بالترتيب المطلوب. والخطأ الشائع ضرب الكسر وحده ونسيان ضرب الحد الثابت.

Questions often say “give your answer in the form $a x + b y + c = 0$ ”. Clear any fraction first, then move everything to one side.

Worked example

1
$y = \frac{2}{3} x + 4$ — The line. The $\frac{2}{3}$ is a fraction, and the form needs whole numbers, so clear it first.
2
$3 y = 2 x + 12$ — Times every term by 3, the bottom of the fraction: $\frac{2}{3} x \times 3 = 2 x$ and $4 \times 3 = 12$ .
3
$0 = 2 x - 3 y + 12$ — Take 3y from both sides, so one side is 0. Moving the y term keeps the x term positive.
4
$2 x - 3 y + 12 = 0$ — Swap the sides. Same equation, now in the order ax + by + c = 0, with a = 2, b = −3, c = 12.

Common mistake

Multiplying only the fraction: $3 y = 2 x + 4$ . Every term gets multiplied, so the 4 becomes 12.

3. Gradient From ax + by + c = 0

لا يمكنك قراءة الميل مباشرة من الصورة العامة للمعادلة، لأن المجهول الصادي ليس وحده. اجعله وحده أولًا: انقل حد المجهول السيني إلى الطرف الآخر، ثم انقل العدد الثابت، فيبقى حد المجهول الصادي وحده في الطرف الأيسر. ثم اقسم كل الحدود على معامل المجهول الصادي. الآن تقرأ الميل: هو العدد الذي أمام المجهول السيني، والجزء المقطوع من المحور الصادي هو العدد الثابت. والخطأ الشائع أخذ معامل المجهول السيني في الصورة العامة على أنه الميل؛ لا يكون كذلك إلا بعد أن يصبح المجهول الصادي وحده بلا معامل.

You cannot read the gradient straight from $a x + b y + c = 0$ . Get y on its own first.

Worked example

1
$3 x + 4 y - 8 = 0$ — The line. y is not on its own, so the gradient is hidden.
2
$4 y - 8 = - 3 x$ — Take 3x from both sides, to clear the x term from the left.
3
$4 y = - 3 x + 8$ — Add 8 to both sides. Now only the y term is on the left.
4
$y = - \frac{3}{4} x + 2$ — Divide every term by 4, so y stands alone: $8 \div 4 = 2$ .
5
$gradient = - \frac{3}{4}, y-intercept = 2$ — Read them off. The gradient is the number in front of x; the y-intercept is the number on its own.

Common mistake

Saying the gradient is 3. The 3 is only the gradient once y is on its own with nothing in front.

4. When the Equation Looks Different

كثيرًا ما تكتب الامتحانات المعادلة بترتيب مختلف، مثلًا حد المجهول الصادي أولًا والعدد في الطرف الأيمن. الطريقة لا تتغير: اجعل المجهول الصادي وحده. انقل حد المجهول السيني إلى الطرف الآخر، ثم رتّب الطرف الأيمن بحيث يأتي حد المجهول السيني أولًا مع إشارته السالبة. ثم اقسم كل الحدود على معامل المجهول الصادي، واقرأ الميل والجزء المقطوع. اكتب خطوة النقل قبل الجواب، فهي تأخذ درجة على الحل حتى لو أخطأت في الميل النهائي. والخطأ الشائع قسمة العدد الثابت وحده ونسيان قسمة حد المجهول السيني، فيخرج الميل خطأ.

Exams often write the line another way, like “3y + 2x = 15”: the y term first and the number on the right. The method does not change: get y on its own.

Worked example

1
$3 y + 2 x = 15$ — The line. y is not alone, so the gradient is hidden.
2
$3 y = 15 - 2 x$ — Take 2x from both sides, so only the y term is on the left.
3
$3 y = - 2 x + 15$ — Reorder the right side so the x term comes first, like y = mx + c. The minus stays with the 2x.
4
$y = - \frac{2}{3} x + 5$ — Divide every term by 3, so y stands alone: $15 \div 3 = 5$ .
5
$gradient = - \frac{2}{3}, y-intercept = 5$ — Read them off: the gradient is in front of x, the y-intercept is the number on its own.

Key idea

Write the $3 y = 15 - 2 x$ line before the answer. It earns a mark for working even if your final gradient is wrong.

Common mistake

Dividing only the 15 by 3 and writing $y = - 2 x + 5$ . Every term is divided, so the gradient is $- \frac{2}{3}$ , not −2.

5. Shortcut: Gradient = −a ÷ b

في الكتب طريقة مختصرة تقرأ الميل مباشرة من الصورة العامة، استعملها للتحقق من حلك. الميل يساوي سالب معامل المجهول السيني مقسومًا على معامل المجهول الصادي، والجزء المقطوع من المحور الصادي يساوي سالب العدد الثابت مقسومًا على معامل المجهول الصادي. اقرأ كل معامل بإشارته، وضع السالب بين قوسين عند التعويض حتى لا تضيع إشارته، وتذكّر أن السالب مقسومًا على السالب موجب. والخطأ الشائع استعمال هذه الطريقة قبل أن تكون المعادلة بالصورة العامة؛ يجب أولًا أن تكون كل الحدود في طرف والصفر في الطرف الآخر.

Textbooks print a shortcut that reads the gradient straight from ax + by + c = 0. Use it to check your rearranging.

Formula

gradient = - \frac{a}{b} y-intercept = - \frac{c}{b}

$a$ is the number in front of x, $b$ the number in front of y, and $c$ the number on its own. Each one keeps its sign.

Worked example

1
$5 x - 2 y + 8 = 0$ — The line. Everything is on one side with 0 on the other, so the shortcut works.
2
$a = 5, b = - 2, c = 8$ — Read the numbers with their signs. The y term is −2y, so b is −2, not 2.
3
$gradient = - \frac{5}{( - 2 )}$ — Put a and b in the formula. Keep −2 in brackets so its sign is not lost.
4
$= \frac{5}{2}$ — The minus in front and the minus of −2 cancel: minus divided by minus is plus.
5
$y-intercept = - \frac{8}{( - 2 )}$ — Same formula idea for c: put c and b in.
6
$= 4$ — Minus divided by minus is plus again, and 8 ÷ 2 = 4. Check: y = 2.5x + 4 gives the same line.

Common mistake

Using the shortcut on 3y + 2x = 15. It only works with 0 on one side, so first write $2 x + 3 y - 15 = 0$ .

6. Which Method? Read the Question

حدّد أولًا في أي اتجاه تسير. إذا طُلب الجواب بالصورة العامة: تخلّص من الكسور وانقل كل الحدود إلى طرف واحد. وإذا طُلب ميل خط مكتوب بالصورة العامة: اجعل المجهول الصادي وحده. وإذا أُعطيت نقطتين وطُلب الجواب بالصورة العامة: فهذا درس معادلة الخط المار بنقطتين. وللتحقق السريع: الميل في الصورة العامة يساوي سالب معامل المجهول السيني على معامل المجهول الصادي.

Which way are you going?

You see	You do
“Give it as ax + by + c = 0”	clear fractions, all to one side
Gradient of ax + by + c = 0	get y on its own
Two points, answer as ax + by + c = 0	Equation of a Line Through Two Points
Reading m and c	The Equation y = mx + c

Key idea

Quick check: for $a x + b y + c = 0$ the gradient is $- \frac{a}{b}$ . For $3 x + 4 y - 8 = 0$ that is $- \frac{3}{4}$ .

تدرّب على المعادلة على الصورة ax + by + c = 0

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح المعادلة على الصورة ax + by + c = 0

1. One Line, Two Ways to Write It

2. From y = mx + c to ax + by + c = 0

3. Gradient From ax + by + c = 0

4. When the Equation Looks Different

5. Shortcut: Gradient = −a ÷ b

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على المعادلة على الصورة ax + by + c = 0

أسئلة امتحانات سابقة على المعادلة على الصورة ax + by + c = 0، محلولة ومشروحة بالعربي