شرح معادلة المستقيم المار بنقطتين

Equation of a Line Through Two Points

يأتي في امتحانات Edexcel Further Pure Maths 4PM1 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Two Points Fix One Line

يمر بنقطتين خط مستقيم واحد فقط، وتجد معادلته بخطوتين. الأولى: الميل، وهو التغير الرأسي مقسومًا على التغير الأفقي بين النقطتين. اطرح الإحداثيين الصاديين في البسط، والإحداثيين السينيين في المقام، وبالترتيب نفسه في الاثنين. الثانية: عوّض إحداثيي إحدى النقطتين في المعادلة وحُلّ لتجد الجزء المقطوع من المحور الصادي. ثم استعمل النقطة الأخرى للتحقق، فيجب أن تحقق المعادلة أيضًا.

Only one straight line goes through two points. You find its equation $y = m x + c$ in two moves.

Steps

1
Gradient: up ÷ across between the two points gives $m$ .
2
c: put one point's x and y into $y = m x + c$ and solve.

Written as a formula, the gradient is:

Formula

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

$(x_{1}, y_{1})$ is one point and $(x_{2}, y_{2})$ is the other. The top is the change in y (up), the bottom is the change in x (across). Take both in the same order.

Key idea

Then use the other point as a check. It must fit too.

2. Gradient, Then c

هذا هو السؤال الأساسي: معادلة الخط المار بنقطتين. أولًا الميل: اطرح الإحداثيين الصاديين في البسط والسينيين في المقام، بالترتيب نفسه، ثم بسّط. ضع الميل في المعادلة فيبقى الجزء المقطوع وحده مجهولًا. ثم عوّض إحداثيي إحدى النقطتين: الإحداثي السيني بجانب الميل، والصادي في الطرف الأيسر، وحُلّ المعادلة لتجد الجزء المقطوع. أعِده إلى المعادلة فتحصل على الجواب، وتحقق بالنقطة الأخرى. والخطأ الشائع تبديل الإحداثيين عند التعويض. واكتب حساب الميل وسطر التعويض، فكل منهما يأخذ درجة حتى لو أخطأت في الناتج النهائي.

The main question: find the equation of the line through $(2, 5)$ and $(5, 14)$ .

Worked example

1
$m = \frac{14 - 5}{5 - 2}$ — Gradient formula: take the y's away on top and the x's away underneath, in the same order.
2
$m = \frac{9}{3} = 3$ — Up 9, across 3, so the gradient is 3.
3
$y = 3 x + c$ — Put m = 3 into y = mx + c. Only c is still unknown.
4
$5 = 3 (2) + c$ — Substitute the point (2, 5): x = 2 goes next to the 3, and y = 5 goes on the left.
5
$5 = 6 + c$ — Work out 3 × 2 = 6.
6
$c = - 1$ — Take 6 from both sides: 5 − 6 = −1.
7
$y = 3 x - 1$ — Put c back into y = 3x + c. This is the equation.

Common mistake

Swapping x and y when you substitute, as in $2 = 3 (5) + c$ . The x goes next to the m.

Key idea

Check with the other point: $3 (5) - 1 = 14$ . It fits.

Key idea

Show the gradient sum and the substitution line. Each one earns a mark for working, even if a slip spoils your final answer.

3. Negative Coordinates and Fractions

انتبه جيدًا للإشارات السالبة. عند التعويض في قانون الميل ضع الإحداثي السالب بين قوسين حتى لا تضيع إشارته، وتذكر أن طرح السالب جمع. إذا كان البسط سالبًا فهذا لأن الخط ينزل. وإذا خرج الميل كسرًا فبسّطه واتركه كسرًا لأنه دقيق. ثم عوّض بالنقطة التي فيها صفر لأن حسابها أسهل، وحُلّ لتجد الجزء المقطوع، واكتب المعادلة وتحقق بالنقطة الأخرى. والخطأ الشائع حساب التغير الأفقي بطرح العددين دون الانتباه إلى إشارة السالب، فيخرج أصغر من الصحيح.

Take extra care with minus signs. The gradient can come out as a fraction: keep it as a fraction.

Worked example

1
$(- 2, 4) and (6, 0)$ — The two points. The first one has a negative x, so watch the signs.
2
$m = \frac{0 - 4}{6 - ( - 2 )}$ — Gradient formula. Put −2 in brackets so its minus sign is not lost.
3
$m = \frac{- 4}{8}$ — Minus a negative is plus: 6 − (−2) = 8. The top is −4 because the line goes down.
4
$m = - \frac{1}{2}$ — Divide top and bottom by 4. Keep it as a fraction, it is exact.
5
$0 = - \frac{1}{2} (6) + c$ — Substitute (6, 0): the point with a 0 gives easier sums.
6
$0 = - 3 + c$ — Work out −½ × 6 = −3.
7
$c = 3$ — Add 3 to both sides.
8
$y = - \frac{1}{2} x + 3$ — Put m and c into y = mx + c. Check with (−2, 4): −½ × (−2) + 3 = 4. It fits.

Common mistake

Working out the across as $6 - 2 = 4$ . It is $6 - (- 2) = 8$ .

4. Another Way: y − y₁ = m(x − x₁)

بعض الكتب ونماذج التصحيح تستعمل قانونًا ثانيًا يصل إلى المعادلة دون حساب الجزء المقطوع في خطوة منفصلة: المجهول الصادي ناقص الإحداثي الصادي للنقطة يساوي الميل مضروبًا في المجهول السيني ناقص الإحداثي السيني للنقطة. احسب الميل أولًا كالمعتاد. ثم عوّض الميل وإحداثيي أي نقطة على الخط، ويبقى المجهولان حرفين. إذا كان إحداثي النقطة سالبًا فطرح السالب يصبح جمعًا. ثم فُكّ القوس واجعل المجهول الصادي وحده. والخطأ الشائع نسيان أن طرح الإحداثي السالب يصبح جمعًا. والطريقتان تعطيان الخط نفسه والدرجات نفسها، فاستعمل الأسهل لك.

Some textbooks and mark schemes use a second formula. It gets to the equation without finding c as a separate step.

Formula

y - y_{1} = m (x - x_{1})

$m$ is the gradient and $(x_{1}, y_{1})$ is any point on the line. The x and y stay as letters.

Worked example

1
$m = \frac{- 16 - 9}{6 - ( - 4 )}$ — Line through (−4, 9) and (6, −16). Find the gradient first, as before. Brackets keep the −4 safe.
2
$m = \frac{- 25}{10} = - 2.5$ — −16 − 9 = −25 and 6 + 4 = 10, so the gradient is −2.5.
3
$y - 9 = - 2.5 (x - (- 4))$ — Put m and the point (−4, 9) into the formula: $x_{1} = - 4$ , $y_{1} = 9$ .
4
$y - 9 = - 2.5 (x + 4)$ — Minus a negative is plus: x − (−4) = x + 4.
5
$y - 9 = - 2.5 x - 10$ — Multiply out the bracket: −2.5 × x and −2.5 × 4 = −10.
6
$y = - 2.5 x - 1$ — Add 9 to both sides: −10 + 9 = −1. Now it is in the form y = mx + c.

Common mistake

Writing $y - 9 = - 2.5 (x - 4)$ . Here $x_{1}$ is −4, so $x - (- 4)$ becomes $x + 4$ .

Key idea

Both methods give the same line and earn the same marks. Use the one you find easier.

5. “Show That” Questions

في أسئلة «أثبت أن» يُعطى الجواب مكتوبًا بصورة أخرى، فكل الدرجات على خطوات الحل، واكتب كل سطر. احسب الميل بالقانون مع الأقواس حول السالب، وبسّط الكسر. ثم عوّض إحداثيي إحدى النقطتين لتجد الجزء المقطوع، واتركه كسرًا ولا تقرّبه إلى عدد عشري، لأن التقريب لا يوصلك إلى الجواب الدقيق. اكتب المعادلة، ثم اضرب كل الحدود في المقام لتتخلص من الكسور، فتصل إلى الصورة المطلوبة نفسها. والممتحن يريد كل خطوة دون فجوات، والسطر الناقص قد يفقدك درجات.

Some questions give you the answer in another form, like “Show that the line AB is 3y = x + 7”. All the marks are for working, so write every line.

Worked example

1
$m = \frac{4 - 2}{5 - ( - 1 )}$ — A is (−1, 2) and B is (5, 4). Gradient formula, with −1 in brackets.
2
$m = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ — Minus a negative is plus, so across is 6. Divide top and bottom by 2.
3
$2 = \frac{1}{3} (- 1) + c$ — Substitute A: x = −1, y = 2.
4
$2 = - \frac{1}{3} + c$ — ⅓ × (−1) = −⅓.
5
$c = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ — Add ⅓ to both sides. Keep it as a fraction: a rounded 2.33 cannot give the exact answer.
6
$y = \frac{1}{3} x + \frac{7}{3}$ — The equation in the form y = mx + c.
7
$3 y = x + 7$ — Multiply every term by 3 to clear the fractions. This matches the line you were asked to show.

Key idea

In a “show that” question, an answer with a missing line can lose marks. The examiner wants every step, with no gaps.

6. Which Method? Read the Question

انظر إلى المعطى وإلى صورة الجواب المطلوبة. نقطتان: الميل ثم الجزء المقطوع. ميل ونقطة: انتقل مباشرة إلى إيجاد الجزء المقطوع. نقطتان لهما الإحداثي الصادي نفسه: خط أفقي، معادلته أن الإحداثي الصادي يساوي ذلك العدد. نقطتان لهما الإحداثي السيني نفسه: خط رأسي، معادلته أن الإحداثي السيني يساوي ذلك العدد. نقطة على المحور الصادي: إحداثيها الصادي هو الجزء المقطوع مباشرة. والجواب بالصورة العامة، أو الخط المرسوم على الشبكة، أو المنصّف العمودي، لكل منها درس خاص. وعوّض دائمًا بالنقطة ذات الأعداد الأسهل، والأفضل التي فيها صفر.

Check what you are given and how the answer should look.

You see	You do
Two points	gradient, then c
A gradient and one point	skip to c
Two points with the same y	$y =$ that number
Two points with the same x	$x =$ that number (a vertical line)
A point on the y-axis, $(0, k)$	$c = k$ straight away
Answer as ax + by + c = 0	Equation in the Form ax + by + c = 0
A line drawn on a grid	Finding the Equation From a Graph
Through the midpoint, at right angles	The Perpendicular Bisector

Key idea

Put in whichever point has the easier numbers. A point with a 0 in it is best.

تدرّب على معادلة المستقيم المار بنقطتين

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح معادلة المستقيم المار بنقطتين

1. Two Points Fix One Line

2. Gradient, Then c

3. Negative Coordinates and Fractions

4. Another Way: y − y₁ = m(x − x₁)

5. “Show That” Questions

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على معادلة المستقيم المار بنقطتين

أسئلة امتحانات سابقة على معادلة المستقيم المار بنقطتين، محلولة ومشروحة بالعربي