شرح معادلة y = mx + c

The Equation y = mx + c

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What m and c Mean

كل خط مستقيم، ما عدا الخط الرأسي، له معادلة على صورة واحدة: الصادات تساوي الميل مضروبًا في السينات زائد عدد ثابت. الميل هو العدد المضروب في السينات، ويخبرك كم يصعد الخط مقابل كل وحدة واحدة إلى اليمين، وإذا كان سالبًا فالخط ينزل. العدد الثابت هو النقطة التي يقطع عندها الخط محور الصادات. انتبه: لا تقرأ الميل والعدد الثابت إلا بعد أن تجعل الصادات وحدها في طرف، فإن كان معها عدد فاقسم الطرفين عليه أولًا.

Every straight line (except an upright one) has an equation of this form:

Formula

y = m x + c

m is the gradient: how far the line goes up for each 1 across. Minus means it goes down. c is where the line crosses the y-axis, at the point $(0, c)$ .

Equation	m and c
$y = 2 x + 1$	$m = 2, c = 1$
$y = 4 - 3 x$	$m = - 3, c = 4$

Key idea

If y is not on its own, get it alone first: $2 y = 6 x + 4$ becomes $y = 3 x + 2$ , so $m = 3$ .

2. When y Is Not Alone

في الامتحان قد تأتي المعادلة والصادات ليست وحدها. أولًا انقل حد السينات إلى الطرف الآخر بطرحه من الطرفين. ثم اقسم الطرفين على العدد المضروب في الصادات، واقسم كل حد في الطرف الآخر وليس الحد الأول فقط. الآن تقرأ الميل وهو العدد مع السينات بإشارته، والعدد الثابت هو نقطة القطع مع محور الصادات. الخطأ الشائع أن تقسم العدد الثابت وحده وتنسى حد السينات فيخرج الميل خطأ. وإذا كان في المعادلة قوس ففكّه أولًا قبل أن تقرأ العدد الثابت.

Exams often give a line as $3 y + 2 x = 12$ . You can only read m and c when y is on its own, so get y alone first.

Worked example

1
$3 y + 2 x = 12$ — The question. y is not alone: it has a 3 with it and a 2x beside it.
2
$3 y = 12 - 2 x$ — Take 2x from both sides, so only the y term is left on the left.
3
$y = \frac{12}{3} - \frac{2 x}{3}$ — Divide both sides by 3. Every term on the right is divided, not just the first.
4
$y = 4 - \frac{2}{3} x$ — 12 ÷ 3 = 4. Now y is alone. Writing this line earns a mark for working.
5
$m = - \frac{2}{3}, c = 4$ — m is the number with x, minus included. c = 4, so the line crosses the y-axis at (0, 4).

Common mistake

Dividing only the 12 by 3. The 2x must be divided by 3 too, or the gradient comes out as −2.

Key idea

A bracket hides c. Multiply it out first: $y = 3 (x - 4) = 3 x - 12$ , so c = −12, not −4.

3. The Equation of a Line on a Grid

هذا سؤال إيجاد معادلة خط مرسوم على شبكة. أولًا اقرأ النقطة التي يقطع فيها الخط محور الصادات، فهي العدد الثابت. ثم اختر نقطتين يمر بهما الخط تمامًا عند تقاطع خطوط الشبكة حتى لا تخمّن. احسب كم يصعد الخط وكم يتحرك أفقيًا بينهما، والميل هو الصعود مقسومًا على الأفقي، وليس العكس. إذا كان الخط ينزل من اليسار إلى اليمين فالميل سالب، والأفضل أن تتركه كسرًا لأنه دقيق. ارسم المثلث على الشبكة واكتب القسمة لتأخذ درجة الخطوات، وابدأ إجابتك بالصادات تساوي وليس باسم الخط.

The 3-mark question: “Find an equation for the line L.” Read c from the y-axis, then work out the gradient.

Worked example

1
$c = 1$ — L crosses the y-axis at (0, 1). That crossing is c.
2
$(0, 1) to (2, 4)$ — Pick two points where L goes exactly through grid corners, so you read them without guessing.
3
$up 3, across 2$ — From (0, 1) to (2, 4), y goes up 3 (1 to 4) while x goes across 2 (0 to 2).
4
$m = \frac{3}{2} = 1.5$ — Gradient = up ÷ across, so 3 ÷ 2 = 1.5.
5
$y = 1.5 x + 1$ — Put m = 1.5 in front of x and c = 1 on its own.

A line going down. Read it the same way, but down means a minus.

Worked example

1
$c = - 1$ — The line crosses the y-axis at (0, −1), so c = −1.
2
$(0, - 1) to (3, - 3)$ — Two grid corners on the line.
3
$down 2, across 3$ — y goes from −1 to −3, so it drops 2 while x goes across 3.
4
$m = \frac{- 2}{3} = - \frac{2}{3}$ — Down means the gradient is negative. Leave it as a fraction, because it is exact.
5
$y = - \frac{2}{3} x - 1$ — Put m and c in. c is −1, so the line ends “− 1”, not “+ 1”.

Common mistake

Doing across ÷ up. The gradient is up ÷ across. If the line goes down from left to right, the gradient is negative.

Key idea

Show your working: draw the triangle on the grid and write up ÷ across. That earns a mark even if your final answer slips. Start the answer with “y =”, not “L =”.

4. Gradient and y-Intercept Given

هنا يعطيك السؤال الميل ونقطة إحداثيها السيني صفر. الميل معطى مباشرة، فاحتفظ بإشارته السالبة إن وجدت. والنقطة التي سينها صفر تقع على محور الصادات، فإحداثيها الصادي هو العدد الثابت. بعد ذلك اكتب المعادلة: الميل أمام السينات والعدد الثابت وحده. الخطأ الشائع أن تكتب نقطة القطع مع محور الصادات وقد بدّلت الإحداثيين، تذكّر أن السيني يأتي أولًا ويساوي صفرًا.

The 2-mark question: “Write down an equation of the line with gradient −4 through $(0, 7)$ .” A point with x = 0 is on the y-axis, so it gives c.

Worked example

1
$m = - 4$ — The gradient is given, so m = −4. Keep the minus.
2
$(0, 7)$ — Its x is 0, so this point is on the y-axis.
3
$c = 7$ — Where the line crosses the y-axis is c, so c = 7.
4
$y = - 4 x + 7$ — Put m in front of x and c on its own.

Common mistake

Giving the y-axis crossing as (7, 0). It is on the y-axis, so x is 0: the point is (0, 7).

5. Flat and Upright Lines

الخط الأفقي تكون كل نقاطه بنفس الإحداثي الصادي، فميله صفر، وتصبح معادلته: الصادات تساوي ذلك العدد. أما الخط الرأسي فلا تصفه صورة الميل والعدد الثابت، لأن السيني فيه ثابت لا يتغير، فمعادلته: السينات تساوي ذلك العدد. لتعرف أيهما، انظر إلى النقطتين: أي إحداثي بقي ثابتًا هو الذي يُكتب في المعادلة. وتذكّر أن محور الصادات نفسه معادلته السينات تساوي صفرًا، ومحور السينات معادلته الصادات تساوي صفرًا. لا تخلط بينهما.

The 1-mark question: “Write down the equation of the line PQ”, where PQ is flat.

Worked example

1
$P (- 2, 2), Q (3, 2)$ — Look at the points. The y value is 2 both times.
2
$m = 0$ — y never changes, so the line goes up 0 for every 1 across.
3
$y = 0 x + 2$ — Put m = 0 and c = 2 into y = mx + c.
4
$y = 2$ — 0x is 0, so drop it. Every point on PQ has y = 2.

Upright lines. An upright (vertical) line is the one line that y = mx + c cannot describe. Here x stays fixed instead.

Worked example

1
$R (4, - 1), S (4, 3)$ — Look at the points. The x value is 4 both times.
2
$x = 4$ — Every point on RS has x = 4, whatever its y. So its equation is x = 4.

Key idea

The axes are lines too: the y-axis is x = 0 and the x-axis is y = 0.

Common mistake

Mixing them up. A flat line keeps y fixed, so it is y = a number. An upright line keeps x fixed, so it is x = a number.

6. A Line Through Two Points

عندما يعطيك السؤال نقطتين، ابدأ بالميل: التغير في الصادات مقسومًا على التغير في السينات، وبنفس الترتيب في الاثنين، أي الثانية ناقص الأولى. انتبه أن طرح عدد سالب يعني جمعه. ثم عوّض بإحداثيي إحدى النقطتين وبالميل في معادلة الخط لتجد العدد الثابت، وانتبه أن سالب في سالب يعطي موجبًا. اكتب المعادلة ثم تحقق بالتعويض بالنقطة الأخرى. سطر الميل وسطر التعويض كل منهما يأخذ درجة، فاكتبهما.

The 3-mark question: “Find an equation of the line through A and B.” Find m, then put one point in to find c.

Worked example

1
$A (- 2, 7), B (4, - 5)$ — The two points. Keep each x with its own y.
2
$change in y = - 5 - 7 = - 12$ — y of B take away y of A. y falls by 12.
3
$change in x = 4 - (- 2) = 4 + 2 = 6$ — Same order: x of B take away x of A. Taking away −2 is the same as adding 2.
4
$m = \frac{- 12}{6} = - 2$ — Gradient = change in y ÷ change in x. It is negative, so the line goes down.
5
$7 = - 2 \times (- 2) + c$ — A is on the line, so put x = −2, y = 7 and m = −2 into y = mx + c.
6
$7 = 4 + c$ — (−2) × (−2) = +4, because minus times minus is plus.
7
$c = 3$ — Take 4 from both sides: 7 − 4 = 3.
8
$y = - 2 x + 3$ — Put m and c in. Check with B: −2 × 4 + 3 = −5, which matches.

Key idea

The gradient line and the line where you put a point in each earn a mark, so write both down.

Key idea

For more on this, see Equation of a Line Through Two Points.

7. Where a Line Crosses the x-Axis

لتجد أين يقطع الخط محور السينات تذكّر أن كل نقطة على هذا المحور إحداثيها الصادي صفر. ضع صفرًا مكان الصادات واكتب هذا السطر لأنه يأخذ درجة. ثم حلّ المعادلة: انقل العدد الثابت إلى الطرف الآخر، واقسم على العدد المضروب في السينات. أعط الإجابة نقطة كاملة وليس قيمة السينات فقط، والسيني يأتي أولًا والصادي صفر. وللقطع مع محور الصادات افعل العكس: ضع السينات تساوي صفرًا.

Exams also ask where a line crosses the x-axis. Every point on the x-axis has y = 0, so put y = 0 and solve.

Worked example

1
$y = 2 x + 9$ — The line. We want the point where it meets the x-axis.
2
$0 = 2 x + 9$ — On the x-axis y is 0, so put 0 in place of y. This line earns a mark for working.
3
$- 9 = 2 x$ — Take 9 from both sides, so the x term is alone.
4
$x = - 4.5$ — Divide both sides by 2: −9 ÷ 2 = −4.5.
5
$(- 4.5, 0)$ — Give the point, not just x. Its y is 0 because it is on the x-axis.

Common mistake

Writing (0, −4.5). On the x-axis y is 0, and x always comes first, so the point is (−4.5, 0).

Key idea

For the y-axis put x = 0; for the x-axis put y = 0. This line crosses the y-axis at (0, 9).

8. A Point With a Missing Number

النقطة تقع على الخط إذا حقق إحداثياها المعادلة. أولًا حدّد أي إحداثي هو المجهول: الإحداثي الأول دائمًا سيني والثاني صادي. عوّض بالعدد المعلوم مكان الصادات، والمجهول مكان السينات، ثم حلّ المعادلة خطوة بخطوة، وانتبه لإشارة القسمة على عدد سالب. بعدها تحقق بالتعويض بالقيمة التي وجدتها، فيجب أن تحصل على الإحداثي المعطى. وإذا كان المجهول هو الصادي فالأمر أسهل: عوّض بالسيني واحسب مباشرة. الخطأ الشائع أن تضع العدد المعلوم في المكان الخطأ.

“The point (k, 11) is on the line $y = 3 - 4 x$ . Find k.” A point is on a line when its x and y fit the equation, so put in the number you know.

Worked example

1
$(k, 11)$ — x always comes first, so x = k is missing and y = 11 is known.
2
$11 = 3 - 4 k$ — Put y = 11 and x = k into y = 3 − 4x.
3
$8 = - 4 k$ — Take 3 from both sides: 11 − 3 = 8.
4
$k = \frac{8}{- 4} = - 2$ — Divide both sides by −4. Positive ÷ negative is negative.
5
$3 - 4 \times (- 2) = 3 + 8 = 11$ — Check: put k = −2 back in. We get 11, the y we were given.

Key idea

If the missing number is y, just work it out: for (5, p) on this line, $p = 3 - 4 \times 5 = - 17$ .

Common mistake

Putting 11 in place of x. In (k, 11), k is x and 11 is y.

9. Which Method? Read the Question

هذه الشاشة تلخص كيف تختار الطريقة من شكل السؤال. إذا لم تكن الصادات وحدها فاجعلها وحدها أولًا. إذا كان الخط مرسومًا على شبكة فاقرأ القطع من محور الصادات واحسب الميل بالصعود على الأفقي. إذا أُعطيت الميل ونقطة على محور الصادات فاكتب المعادلة فورًا. الخط الأفقي معادلته الصادات تساوي عددًا، والرأسي السينات تساوي عددًا. مع نقطتين: الميل أولًا ثم عوّض بنقطة. للقطع مع محور السينات ضع الصادات صفرًا، ولنقطة فيها مجهول عوّض بالمعلوم وحل. وفي كل الأحوال تحقق بالتعويض بنقطة تعرفها.

Find what you are given, then read off or work out m and c.

You see	You do
y not alone, e.g. $3 y + 2 x = 12$	get y alone first, then read m and c
A line drawn on a grid	c from the y-axis, m = up ÷ across
A gradient and (0, a number)	write y = mx + c straight away
A flat line	y = a number
An upright line	x = a number
Two points	m first, then put a point in for c
Where it crosses the x-axis	put y = 0 and solve
A point with a missing number	put the known number in and solve
Draw the line from its equation	Drawing Straight-Line Graphs

Key idea

Check your equation: put a point you know into it. Both sides must match.

تدرّب على معادلة y = mx + c

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح معادلة y = mx + c

1. What m and c Mean

2. When y Is Not Alone

3. The Equation of a Line on a Grid

4. Gradient and y-Intercept Given

5. Flat and Upright Lines

6. A Line Through Two Points

7. Where a Line Crosses the x-Axis

8. A Point With a Missing Number

9. Which Method? Read the Question

تدرّب على معادلة y = mx + c

أسئلة امتحانات سابقة على معادلة y = mx + c، محلولة ومشروحة بالعربي