شرح فك الأقواس المتقدم

Further Expansion

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. A Term × Two Brackets (Extended/Higher)

أحيانًا يُضرب حدٌّ واحد في قوسين معًا. الطريقة: افكّ القوسين أولًا واجمع الحدود المتشابهة، ثم اضرب الحدّ الذي في الأمام في كل حدّ من الناتج دون أن تنسى أيّ حدّ. اكتب كل سطر من الحل، لأن فكّ القوسين بشكل صحيح يأخذ درجة وحده، فلا تخسر كل الدرجات إذا أخطأت في السطر الأخير.

Some questions multiply a term like 2x by two brackets, such as $2 x (x + 4) (3 x - 1)$ . Expand the two brackets first, then multiply by the term.

Rule

Two brackets first, then the term in front multiplies every term.

Key idea

Show every line. Expanding the two brackets correctly earns a mark on its own, so even if the last line slips you keep marks for the working.

2. Brackets First, Then the Term

اترك الحدّ الذي في الأمام ينتظر حتى تنتهي من القوسين. أولًا اضرب كل حدّ في القوس الأول في كل حدّ في القوس الثاني فتحصل على أربعة نواتج، ثم اجمع الحدود التي فيها المجهول. بعد ذلك اضرب الحدّ الذي في الأمام في الحدود الثلاثة كلها، وتذكّر أن الأُسس تُجمع عند ضرب المجهول في مربعه. الخطأ الشائع: أن تضرب الحدّ الأمامي في القوسين كليهما، فيتضاعف الضرب وتظهر قوة رابعة خاطئة. ويمكنك أن تبدأ بأيّ زوج تراه أسهل، والنتيجة واحدة.

Keep the term in front waiting until the brackets are done.

Worked example

1
$2 x (x + 4) (3 x - 1)$ — The question. 2x waits in front while we work on the two brackets.
2
$(x + 4) (3 x - 1) = 3 x^{2} - x + 12 x - 4$ — Multiply each term in the first bracket by each term in the second: x × 3x, x × (−1), 4 × 3x, 4 × (−1). Four products.
3
$= 3 x^{2} + 11 x - 4$ — Collect the x terms: −x + 12x = 11x. The brackets are done.
4
$2 x (3 x^{2} + 11 x - 4)$ — Now bring in the term in front. It must multiply all three terms.
5
$= 6 x^{3} + 22 x^{2} - 8 x$ — 2x × 3x² = 6x³, 2x × 11x = 22x², 2x × (−4) = −8x. The powers add: x × x² = x³.

Common mistake

Multiplying 2x into both brackets, like (2x² + 8x)(6x² − 2x). That multiplies by 2x twice and gives an x⁴ term.

Key idea

Any pair can go first. $2 x (x + 4) = 2 x^{2} + 8 x$ , then times (3x − 1), gives the same answer. Pick the pair that looks easiest.

3. Bigger Numbers in the Brackets

عندما توجد أعداد أمام المجهول، الطريقة نفسها لا تتغير: القوسان أولًا، والحدّ الأمامي ينتظر. في كل ناتج اضرب العدد في العدد، والمجهول في المجهول، وانتبه للإشارة السالبة. ثم اجمع الحدود المتشابهة، وأخيرًا اضرب الحدّ الأمامي في كل حدّ من الناتج: الأعداد معًا والمجهول معًا.

With numbers in front of x, multiply the numbers carefully. The method does not change.

Worked example

1
$5 x (2 x + 3) (4 x - 1)$ — The question. Same plan: brackets first, 5x waits.
2
$(2 x + 3) (4 x - 1) = 8 x^{2} - 2 x + 12 x - 3$ — Four products. Multiply numbers and letters: 2x × 4x = 8x², 2x × (−1) = −2x, 3 × 4x = 12x, 3 × (−1) = −3.
3
$= 8 x^{2} + 10 x - 3$ — Collect the x terms: −2x + 12x = 10x.
4
$5 x (8 x^{2} + 10 x - 3)$ — Now the term in front multiplies every term.
5
$= 40 x^{3} + 50 x^{2} - 15 x$ — Numbers times numbers, x times x: 5 × 8 = 40 with x³, 5 × 10 = 50 with x², 5 × (−3) = −15 with x.

4. Two Minus Signs

تذكّر القاعدة: سالب في سالب يعطي موجبًا. عندما يحتوي القوسان كلاهما على إشارة سالبة، فإن الناتج الأخير من ضرب العددين يكون موجبًا، وهنا يخطئ كثير من الطلاب. وعند جمع حدّين سالبين يبقى الناتج سالبًا. بعد فكّ القوسين اضرب الحدّ الأمامي في كل الحدود. ولكي تتأكد من إجابتك، عوّض بقيمة بسيطة للمجهول مثل الواحد في السؤال وفي إجابتك، فإن تساوى الناتجان فإجابتك على الأرجح صحيحة.

Minus times minus is plus. Watch the last term of the brackets.

Worked example

1
$4 x (x - 6) (x - 2)$ — The question. Both brackets hold a minus, so the last product needs care.
2
$(x - 6) (x - 2) = x^{2} - 2 x - 6 x + 12$ — Four products. The last one is (−6) × (−2) = +12, because minus times minus is plus.
3
$= x^{2} - 8 x + 12$ — Collect: −2x − 6x = −8x. Two minus terms added stay minus.
4
$4 x (x^{2} - 8 x + 12)$ — Now the term in front multiplies every term.
5
$= 4 x^{3} - 32 x^{2} + 48 x$ — 4x × x² = 4x³, 4x × (−8x) = −32x², 4x × 12 = +48x.

Key idea

Check with x = 1. The question gives 4 × (−5) × (−1) = 20, and your answer gives 4 − 32 + 48 = 20. They match.

5. A Squared Bracket (Extended/Higher)

القوس المربّع يعني القوس مضروبًا في نفسه، فاكتبه مرتين ثم افكّه كقوسين عاديين. لاحظ أن التربيع يخصّ القوس فقط وليس الحدّ الذي أمامه. اجمع الحدّين الأوسطين، فهذا الحدّ الأوسط هو الذي ينساه الطلاب، ثم اضرب الحدّ الأمامي في كل الحدود. الخطأ الشائع: تربيع كل جزء من القوس وحده، فيضيع الحدّ الأوسط تمامًا.

A squared bracket means the bracket times itself. Write it out twice, so you cannot lose the middle term.

Worked example

1
$2 x (3 x - 4)^{2}$ — The question. The square belongs to the bracket only, not to the 2x.
2
$(3 x - 4)^{2} = (3 x - 4) (3 x - 4)$ — Write the bracket twice. Now it is an ordinary pair of brackets.
3
$= 9 x^{2} - 12 x - 12 x + 16$ — Four products. The last one is (−4) × (−4) = +16.
4
$= 9 x^{2} - 24 x + 16$ — Collect: −12x − 12x = −24x. This middle term is the one people forget.
5
$2 x (9 x^{2} - 24 x + 16)$ — Now the term in front multiplies every term.
6
$= 18 x^{3} - 48 x^{2} + 32 x$ — 2x × 9x² = 18x³, 2x × (−24x) = −48x², 2x × 16 = +32x.

Common mistake

Writing (3x − 4)² = 9x² + 16. Squaring each part on its own loses the −24x in the middle.

6. Show It in a Form (Extended/Higher)

بعض الأسئلة تعطيك شكل الإجابة وتطلب أن «تُثبت» أن المقدار يمكن كتابته بهذا الشكل. أنت تعرف الإجابة مسبقًا، لذلك الدرجات على خطوات الحل. افكّ القوسين أولًا، واجمع الحدود المتشابهة، ثم اضرب في الحدّ الأمامي، وأخيرًا طابق كل حدّ مع الشكل المطلوب لتقرأ قيمة كل معامل. تغيير حرف المجهول لا يغيّر شيئًا. احتفظ بالإشارة السالبة مع المعامل، ولا تقفز أبدًا إلى الإجابة المعطاة دون كتابة كل سطر.

Some questions give the shape of the answer: “show that … can be written as $a y^{3} + b y^{2} + cy$ ”. You already know the answer, so the marks are for the lines you write.

Worked example

1
$2 y (y + 6) (3 y - 2)$ — The question, with y instead of x. The letter changes nothing.
2
$(y + 6) (3 y - 2) = 3 y^{2} - 2 y + 18 y - 12$ — Expand the two brackets first: four products.
3
$= 3 y^{2} + 16 y - 12$ — Collect: −2y + 18y = 16y.
4
$2 y (3 y^{2} + 16 y - 12)$ — Now the term in front multiplies every term.
5
$= 6 y^{3} + 32 y^{2} - 24 y$ — 2y × 3y² = 6y³, 2y × 16y = 32y², 2y × (−12) = −24y.
6
$a = 6, b = 32, c = - 24$ — Match each term to $a y^{3} + b y^{2} + cy$ . Keep the minus with c: it is −24, not 24.

Key idea

In a “show that”, never jump straight to the given answer. Write each line, so the examiner sees where every term came from.

7. Which Method? Read the Question

قبل أن تبدأ، عُدّ الأقواس وانظر ماذا يوجد أمامها. إذا كان حدّ مضروبًا في قوسين: القوسان أولًا ثم الحدّ. إذا كان القوس مربّعًا: اكتبه مرتين. إذا طُلب منك أن تُثبت شكلًا معيّنًا: افكّ كاملًا ثم اقرأ المعاملات. ثلاثة أقواس: اضرب قوسين في كل مرة. قوسان فقط: درس فكّ قوسين. وإذا طُلب تحويل المقدار إلى حاصل ضرب: فهذا تحليل بسيط. وتذكّر أن الإجابة هنا فيها حدّ مكعّب، فإن لم يظهر فقد نسيت شيئًا.

Count the brackets and look at what is in front.

You see	You do
A term × two brackets	brackets first, then the term
A bracket squared	write it twice
“Show that … $a x^{3} + b x^{2} + c x$ ”	expand fully, then read off a, b and c
Three brackets	two at a time (Expand and Simplify)
Two brackets only	Expanding Two Brackets
Make it a product	Simple Factorising

Key idea

The answer has an x cubed term. If it does not, something was missed.

تدرّب على فك الأقواس المتقدم

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح فك الأقواس المتقدم

1. A Term × Two Brackets (Extended/Higher)

2. Brackets First, Then the Term

3. Bigger Numbers in the Brackets

4. Two Minus Signs

5. A Squared Bracket (Extended/Higher)

6. Show It in a Form (Extended/Higher)

7. Which Method? Read the Question

تدرّب على فك الأقواس المتقدم

أسئلة امتحانات سابقة على فك الأقواس المتقدم، محلولة ومشروحة بالعربي