شرح إيجاد المعادلة من التمثيل البياني

Finding the Equation From a Graph

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Two Things to Read

كل خط مستقيم، ما عدا الخط الرأسي، له معادلة على صورة الميل والجزء المقطوع. لتجد المعادلة من الرسم تحتاج إلى قراءة عددين فقط. الأول هو الميل، أي مدى انحدار الخط، وتحسبه بقسمة التغير الرأسي على التغير الأفقي بين نقطتين. والثاني هو الجزء المقطوع من المحور الصادي، أي النقطة التي يقطع فيها الخط هذا المحور.

Every straight line (except an upright one) has an equation of this form:

Formula

y = m x + c

To find it from a graph you read just two numbers:

Letter	What it is	Where to look
$m$	the gradient: how steep	up ÷ across between two points
$c$	the y-intercept	where the line crosses the y-axis

Key idea

For more on what m and c mean, see The Equation y = mx + c.

2. Read c, Then m

في هذا السؤال يُرسم خط على الشبكة ويُطلب معادلته. أولًا اقرأ أين يقطع الخط المحور الرأسي؛ هذا هو الجزء المقطوع. ثم اختر نقطتين يمر بهما الخط تمامًا عند تقاطع خطوط الشبكة، لأن النقاط الدقيقة تعطي ميلًا دقيقًا. احسب التغير الرأسي بينهما، وإذا نزل الخط فالتغير سالب، ثم التغير الأفقي، واقسم الرأسي على الأفقي لتحصل على الميل. ضع الميل أمام المجهول السيني والجزء المقطوع وحده، ثم تحقق بالتعويض بالنقطة الثانية. والخطأ الشائع نسيان الإشارة السالبة مع أن الخط ينزل نحو اليمين. واكتب القسمة في حلك، وابدأ الجواب بالمجهول الصادي يساوي؛ فالميل الصحيح وحده أو الجزء المقطوع الصحيح وحده يأخذ درجة.

The 2–3 mark question: a line is drawn on a grid, find its equation. Pick two points where the line crosses grid corners exactly.

Worked example

1
$crosses the y-axis at 2$ — Find where the line cuts the upright axis. That height is c, so c = 2.
2
$(0, 2) and (2, - 4)$ — Pick two points where the line passes exactly through a grid corner. Exact points give an exact gradient.
3
$up = - 4 - 2 = - 6$ — y goes from 2 down to −4. Going down means up is negative: −6.
4
$across = 2 - 0 = 2$ — x goes from 0 to 2, so the line moves 2 to the right.
5
$m = \frac{- 6}{2} = - 3$ — Gradient = up ÷ across. Negative, which matches a line going down to the right.
6
$y = - 3 x + 2$ — Put m in front of x and c on its own, as in $y = m x + c$ .
7
$x = 2 : - 3 \times 2 + 2 = - 4$ — Check with the second point. It gives y = −4, so the equation fits.

Common mistake

Writing $y = 3 x + 2$ . The line goes down to the right, so the gradient must be negative.

Key idea

Show up ÷ across in your working, and write the answer as $y = \dots$ , not $L = \dots$ . A correct gradient or a correct c still earns a mark, even if the other one is wrong.

3. When the Gradient Is a Fraction

بعض الخطوط ترتفع ببطء، فلا تمر بتقاطع في الشبكة بعد مربع واحد. اقرأ الجزء المقطوع من المحور الصادي مع إشارته إذا كان تحت الصفر. ثم تحرك يمينًا حتى يمر الخط تمامًا بتقاطع في الشبكة، واحسب التغير الرأسي (طرح السالب جمع) والتغير الأفقي. اقسم الرأسي على الأفقي، وإذا لم تكن القسمة تامة فاترك الميل كسرًا. ثم ضع الميل والجزء المقطوع في المعادلة مع الإشارة السالبة. والخطأ الشائع قسمة الأفقي على الرأسي؛ التغير الرأسي دائمًا في البسط. وتحقق بنقطة ثالثة على الخط.

Some lines rise slowly. Count across to the next exact grid corner: the gradient is then a fraction.

Worked example

1
$c = - 1$ — The line cuts the y-axis below 0, at −1. So c = −1, minus sign included.
2
$(0, - 1) and (3, 1)$ — Move right from (0, −1) until the line passes exactly through a grid corner. The first one is (3, 1).
3
$up = 1 - (- 1) = 2$ — y goes from −1 up to 1. Taking away a negative adds, so 1 + 1 = 2.
4
$across = 3 - 0 = 3$ — x goes from 0 to 3, so the line moves 3 to the right.
5
$m = \frac{2}{3}$ — Up ÷ across. 2 does not divide exactly by 3, so leave the gradient as a fraction.
6
$y = \frac{2}{3} x - 1$ — Put m and c into $y = m x + c$ . The −1 keeps its minus.

Common mistake

Doing across ÷ up and getting $\frac{3}{2}$ . Up always goes on top.

Key idea

Check with a third point. At $(6, 3)$ : $\frac{2}{3} \times 6 - 1 = 3$ . It fits.

4. When One Square Is Not 1

كثيرًا ما تستعمل الامتحانات محاور يكون فيها المربع الواحد لا يساوي واحدًا، فاقرأ الأعداد المكتوبة على المحاور ولا تكتفِ بعدّ المربعات. أولًا اقرأ مقياس كل محور: كم يساوي المربع على المحور السيني وكم يساوي على المحور الصادي، وقد يختلفان. ثم اقرأ الجزء المقطوع من العدد المكتوب على المحور. اختر نقطة ثانية يمر بها الخط تمامًا، واحسب التغير الرأسي والأفقي من أعداد المحاور لا من عدد المربعات. اقسم الرأسي على الأفقي وبسّط، ثم اكتب المعادلة وتحقق بنقطة على الخط. والخطأ الشائع عدّ المربعات، وهذا لا يصح إلا إذا كان مقياسا المحورين متساويين.

Exams often use axes where one square is not 1. Read the numbers on the axes, never just count squares.

Worked example

1
$x : 1 square = 2, y : 1 square = 0.5$ — Read the scales first. Here 5 squares reach 10 on the x-axis, and 2 squares reach 1 on the y-axis.
2
$c = 3$ — The line crosses the y-axis at the number 3. Read the label, not the square count.
3
$(0, 3) and (8, 5)$ — Pick a second point where the line passes exactly through a grid corner, and read both numbers off the axes.
4
$up = 5 - 3 = 2$ — Use the axis numbers. It is 4 squares, but each square is 0.5, so up = 2.
5
$across = 8 - 0 = 8$ — Also 4 squares, but each square is 2, so across = 8.
6
$m = \frac{2}{8} = 0.25$ — Up ÷ across, then simplify. 2 ÷ 8 = 0.25, which is the same as $\frac{1}{4}$ .
7
$y = 0.25 x + 3$ — Put m and c into $y = m x + c$ .
8
$x = 4 : 0.25 \times 4 + 3 = 4$ — Check with a point on the line, (4, 4). It fits.

Common mistake

Counting squares: 4 up and 4 across gives $m = 1$ . That is only right when both scales are the same.

5. Which Method? Read the Question

انظر إلى الخط وإلى المطلوب في السؤال. خط مائل على الشبكة: اقرأ الجزء المقطوع ثم اقسم التغير الرأسي على الأفقي. خط أفقي: معادلته أن الإحداثي الصادي يساوي الارتفاع الذي يقع عليه. خط رأسي: معادلته أن الإحداثي السيني يساوي موضع تقاطعه مع المحور السيني. خط مائل يمر بنقطة الأصل: الجزء المقطوع صفر. خط لا يصل إلى المحور الصادي، أو نقطتان دون رسم: هذا درس معادلة الخط المار بنقطتين. وتأكد دائمًا من مقياس المحاور قبل عدّ المربعات.

Look at the line and what the question asks.

You see	You do
A sloping line drawn on a grid	read c, then up ÷ across
A flat line	$y =$ the height it sits at
An upright line	$x =$ where it crosses the x-axis
A sloping line through $(0, 0)$	c = 0, so $y = m x$
A line that does not reach the y-axis	find m, then put a point in for c: Equation of a Line Through Two Points
Only two points, no graph	Equation of a Line Through Two Points
“Draw the line”	Drawing Straight-Line Graphs

Key idea

Check the axis scales before counting squares. One square is not always 1.

تدرّب على إيجاد المعادلة من التمثيل البياني

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح إيجاد المعادلة من التمثيل البياني

1. Two Things to Read

2. Read c, Then m

3. When the Gradient Is a Fraction

4. When One Square Is Not 1

5. Which Method? Read the Question

تدرّب على إيجاد المعادلة من التمثيل البياني

أسئلة امتحانات سابقة على إيجاد المعادلة من التمثيل البياني، محلولة ومشروحة بالعربي