شرح إعادة ترتيب الصيغ

Rearranging Formulas

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What Rearranging Means

عبارة «اجعل المجهول موضوع القانون» تعني أن تجعله وحده في طرف، وبقية القانون في الطرف الآخر. أنت تفعل هذا أصلًا عند حل المعادلات بالأعداد: تطرح ثم تقسم، وهنا تفعل الخطوات نفسها لكن مع حروف. القاعدة: اعكس ما حدث للمجهول بدءًا من آخر عملية، وما تفعله في طرف افعله في الطرف الآخر. لا تقلق إذا بقيت حروف في الإجابة، المهم أن يكون المجهول وحده. ومثال من الحياة: تطبيق الطقس يحوّل من الفهرنهايت إلى المئوية بإعادة ترتيب القانون بهذه الطريقة.

“Make x the subject” means get x on its own on one side. The other side is the rest of the formula.

Example

You already do this with numbers. If $5 x + 2 = 17$ , you take 2 and divide by 5. Rearranging does the same moves with letters.

Rule

Undo what was done to x, last thing first. Whatever you do to one side, do to the other.

Key idea

The answer has letters in it, like $x = \frac{y - c}{5}$ . That is fine: it is still x on its own.

Key idea

A weather app that shows both °C and °F uses $F = 1.8 C + 32$ . To go back the other way it rearranges it, last thing first: $C = \frac{F - 32}{1.8}$ . So $98.6^{\circ} F$ is $\frac{66.6}{1.8} = 37^{\circ} C$ , normal body temperature.

2. Undo, Last Thing First

معظم أسئلة إعادة الترتيب خطوتان وعليها درجتان. فكّر كيف بُني القانون: ضُرب المجهول في عدد ثم أُضيف إليه حدّ. اعكس بترتيب معكوس: اطرح الحدّ المضاف من الطرفين أولًا لأنه آخر ما حدث، ثم اقسم الطرفين على العدد. وأخيرًا بدّل الطرفين ليُكتب المجهول أولًا، والمعنى لا يتغير. الخطأ الشائع: قسمة الحدّ الأخير وحده، والصحيح أن الطرف كله يُقسم فيوضع كله في البسط.

Most rearranging questions are two moves, worth 2 marks. Undo what was done to x, last thing first.

Worked example

1
$y = 5 x + c$ — Make x the subject. To build y, x was multiplied by 5, then c was added. Undo them in reverse order.
2
$y - c = 5 x$ — c was added last, so undo it first: take c from both sides.
3
$\frac{y - c}{5} = x$ — x was multiplied by 5, so divide both sides by 5. The whole of y − c goes on top.
4
$x = \frac{y - c}{5}$ — Swap the sides so x is written first. It means exactly the same.

Common mistake

Writing $x = y - \frac{c}{5}$ . The whole of $y - c$ is divided by 5, so it all goes on top of the fraction.

3. A Minus in Front of the Letter

كثيرًا ما يضع الامتحان إشارة سالبة أمام المجهول المطلوب. الحيلة: أضف حدّ المجهول إلى الطرفين أولًا ليصبح موجبًا، فلا توجد إشارة سالبة تضيع. ثم انقل الحدّ الآخر بالطرح، واقسم على المعامل، وضع الطرف كله في البسط. هناك طريق آخر صحيح أيضًا يأخذ الدرجة كاملة، وهو القسمة على عدد سالب ثم ضرب البسط والمقام في سالب واحد. الخطأ الشائع: ضياع الإشارة، ولكي تكتشفه عوّض بعدد سهل وتأكد أن الإجابة ترجع كما بدأت.

Exams often put a minus in front of the letter you want, like $v = 8 - 3 t$ . Here is how to keep the signs right.

Worked example

1
$v = 8 - 3 t$ — Make t the subject. The t term is −3t, so it has a minus in front.
2
$v + 3 t = 8$ — Add 3t to both sides. Now the t term is positive, so there is no minus to lose.
3
$3 t = 8 - v$ — Take v from both sides, so only the t term is left on the left.
4
$t = \frac{8 - v}{3}$ — t was multiplied by 3, so divide both sides by 3. The whole of 8 − v goes on top.

Key idea

Another route also gets full marks: $v - 8 = - 3 t$ , so $t = \frac{v - 8}{- 3}$ . Dividing top and bottom by −1 gives the same $\frac{8 - v}{3}$ .

Common mistake

Writing $t = \frac{v - 8}{3}$ . Check with numbers: t = 2 gives v = 8 − 6 = 2, and $\frac{2 - 8}{3} = - 2$ , not 2. The sign was lost.

4. Brackets in the Formula

عندما يكون المجهول داخل قوس، عامل القوس كله ككتلة واحدة حتى يصبح وحده. في قانون مساحة شبه المنحرف: اضرب الطرفين في اثنين لتتخلص من النصف، ثم اقسم الطرفين على الارتفاع لأنه يضرب القوس كله، فيصبح القوس وحده وتحذفه. بعدها اطرح الحدّ الآخر لتحصل على المجهول. ويمكنك بدلًا من ذلك فكّ القوس أولًا، فتحصل على الإجابة نفسها بصورة أخرى. الخطأ الشائع: طرح الحدّ قبل القسمة على الارتفاع، والصحيح أن تقسم أولًا ثم تطرح.

Some formulas have the letter inside a bracket. Treat the whole bracket as one block until it is on its own.

Worked example

1
$A = \frac{1}{2} (a + b) h$ — Make b the subject. This is the area of a trapezium. The bracket (a + b) was halved and multiplied by h.
2
$2 A = (a + b) h$ — Multiply both sides by 2. This clears the half.
3
$\frac{2 A}{h} = a + b$ — The whole bracket was multiplied by h, so divide both sides by h. The bracket is now on its own, so drop it.
4
$b = \frac{2 A}{h} - a$ — Take a from both sides, and write b first.

Key idea

You can also expand first: $2 A = ah + bh$ , so $bh = 2 A - ah$ and $b = \frac{2 A - ah}{h}$ . This is the same answer written another way.

Common mistake

Writing $b = \frac{2 A - a}{h}$ . The h multiplies the whole bracket, so divide by h first, then take a away.

5. Fractions and Squares

إذا كان المجهول داخل كسر، تخلّص من الكسر أولًا بضرب الطرفين في المقام، لأن القسمة كانت آخر خطوة. ثم انقل الحدّ الباقي بعكس إشارته. وإذا كان المجهول مربّعًا، فالجذر التربيعي هو آخر خطوة: أولًا انقل الحدود، ثم اقسم حتى يبقى المربّع وحده، ثم خذ الجذر. تذكّر أن الجذر التربيعي له قيمتان موجبة وسالبة، فاكتب الاثنتين، إلا في الأطوال والأزمنة حيث تكون الإجابة الموجبة فقط.

If the letter is inside a fraction, clear the fraction first. If it is squared, the square root comes last.

Worked example

1
$k = \frac{w - 3}{4}$ — Make w the subject. 3 was taken from w, then the result was divided by 4.
2
$4 k = w - 3$ — Dividing by 4 was done last, so undo it first: multiply both sides by 4. The fraction is gone.
3
$4 k + 3 = w$ — Add 3 to both sides to undo the −3.
4
$w = 4 k + 3$ — Swap the sides so w is written first.

Worked example

1
$y = 2 r^{2} - 5$ — Make r the subject. r was squared, then multiplied by 2, then 5 was taken away.
2
$y + 5 = 2 r^{2}$ — Undo the last move first: add 5 to both sides.
3
$\frac{y + 5}{2} = r^{2}$ — Divide both sides by 2, so r² is on its own.
4
$r = \pm \frac{y + 5}{2}$ — Squaring was the first thing done to r, so the square root comes last. Both + and − square to the same number, so write ±.

Key idea

A square root can be positive or negative. For lengths and times, the positive one is the answer.

6. Square Roots and Cubes (Extended/Higher)

إذا كان المجهول تحت جذر تربيعي، فربّع الطرفين أولًا، لأن التربيع يلغي الجذر، ثم أكمل كالمعتاد: اطرح، ثم اقسم. وبالمثل: المكعّب يُلغى بالجذر التكعيبي، والجذر التكعيبي يُلغى بالتكعيب. والجذر التكعيبي له إجابة واحدة فقط، فلا تكتب موجبًا وسالبًا. الخطأ الشائع: التربيع مبكرًا. إذا كان هناك حدّ مضاف خارج الجذر فانقله أولًا، ثم ربّع، وتذكّر أن تربيع قوس ليس تربيع كل حدّ وحده.

If the letter is under a square root, square both sides first. That removes the root, then carry on as normal.

Worked example

1
$T = 2 d + e$ — Make d the subject. The root was the last thing done, so undo it first.
2
$T^{2} = 2 d + e$ — Square both sides. Squaring undoes a square root, so the root is gone.
3
$T^{2} - e = 2 d$ — Take e from both sides.
4
$d = \frac{T ^{2} - e}{2}$ — d was multiplied by 2, so divide both sides by 2. Write d first.

Cubed

V = 2 x^{3}

x = 3 \frac{V}{2}

Divide by 2, then cube root. No ± here: a cube root has only one answer.

Cube root

R = 3 p

p = R^{3}

Cube both sides. Cubing undoes a cube root.

Common mistake

Squaring too early. In $T = d + 3$ , first take 3: $T - 3 = d$ . Then square: $d = (T - 3)^{2}$ , which is not $T^{2} - 9$ .

7. Subject Appears Twice (Extended/Higher)

في الأسئلة الأصعب يظهر المجهول في مكانين، غالبًا في البسط والمقام، وعليها ثلاث أو أربع درجات. الطريقة: اضرب الطرفين في المقام لتتخلص من الكسر، ثم افكّ القوس، ثم اجمع كل حدود المجهول في طرف واحد والباقي في الطرف الآخر. بعدها أخرج المجهول عاملًا مشتركًا فيظهر مرة واحدة، ثم اقسم على القوس. الخطأ الشائع: التوقف والمجهول ما زال في الطرفين، والحل لا يكتمل حتى يظهر المجهول مرة واحدة فقط.

Harder formulas have x in two places, often in a fraction. These are 3–4 marks. Get every x term on one side, then take x out as a factor.

Worked example

1
$y = \frac{2 x + 3}{x - 1}$ — Make x the subject. x is in two places: on the top and on the bottom of the fraction.
2
$y (x - 1) = 2 x + 3$ — Multiply both sides by the bottom, (x − 1). This clears the fraction.
3
$x y - y = 2 x + 3$ — Expand the bracket: y × x = xy and y × (−1) = −y. Now the x terms are on both sides.
4
$x y - 2 x = y + 3$ — Take 2x from both sides and add y to both sides. Every x term is now on the left.
5
$x (y - 2) = y + 3$ — Both terms on the left contain x, so take x out as a factor. Now x appears only once.
6
$x = \frac{y + 3}{y - 2}$ — x is multiplied by (y − 2), so divide both sides by (y − 2).

Common mistake

Leaving x on both sides, like $x = \frac{y + 3 + 2 x}{y}$ . It is not finished until x appears only once.

8. Twice and Under a Root (Extended/Higher)

أسئلة الدرجات العليا تضيف جذرًا أو تربيعًا إلى سؤال «المجهول في مكانين». تخلّص من الجذر أولًا بتربيع الطرفين، ثم اتّبع الطريقة نفسها: اضرب في المقام، افكّ القوس، اجمع حدود المجهول في طرف، أخرجه عاملًا مشتركًا، ثم اقسم. وإذا كان المجهول مربّعًا في المكانين، فعامل مربّعه كأنه حرف واحد، واجعله موضوع القانون بالطريقة نفسها، ثم خذ الجذر التربيعي في النهاية.

Top-grade questions add a square root or a square to the “appears twice” type. Remove the root first, then use the same collect-and-factorise method.

Worked example

1
$y = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ — Make x the subject. x is in two places, and everything is under a square root.
2
$y^{2} = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ — Square both sides. The root is gone and y becomes y².
3
$y^{2} (x - 3) = 2 x + 1$ — Multiply both sides by the bottom, (x − 3), to clear the fraction.
4
$x y^{2} - 3 y^{2} = 2 x + 1$ — Expand the bracket: y² × x = xy² and y² × (−3) = −3y².
5
$x y^{2} - 2 x = 3 y^{2} + 1$ — Take 2x from both sides and add 3y² to both sides, so the x terms are together on the left.
6
$x (y^{2} - 2) = 3 y^{2} + 1$ — Both terms on the left contain x, so take x out as a factor.
7
$x = \frac{3 y ^{2} + 1}{y ^{2} - 2}$ — Divide both sides by (y² − 2). x now appears only once.

Key idea

If the letter is squared in both places, like $p = \frac{3 k ^{2} + 1}{5 - k ^{2}}$ , treat $k^{2}$ as one letter. Make $k^{2}$ the subject this same way, then square root at the very end.

9. Which Method? Read the Question

حدّد المجهول وانظر ماذا يحيط به. جمع وضرب: اعكس الجمع أولًا ثم الضرب. إشارة سالبة أمامه: أضف حدّه إلى الطرفين ليصبح موجبًا. داخل قوس: اقسم على ما يضرب القوس أو افكّه أولًا. داخل كسر: اضرب في المقام أولًا. مربّع: انتهِ بالجذر التربيعي بإشارتيه. تحت جذر: ربّع الطرفين. مكعّب أو تحت جذر تكعيبي: خذ الجذر التكعيبي أو كعّب الطرفين. في مكانين: اجمع الحدود ثم حلّل. تحقّق دائمًا بتعويض أعداد، واكتب كل خطوة في سطر، فكل خطوة صحيحة لها درجة.

Find the subject in the formula and see what surrounds it.

You see	You do
Added and multiplied	Undo the adding first, then the multiplying
A minus in front of it	Add that term to both sides so it is positive
Inside a bracket	Divide by what multiplies the bracket, or expand first
Inside a fraction	Multiply by the bottom first
Squared	Finish with a square root (±)
Under a root	Square both sides
Cubed or under a cube root	Cube root, or cube both sides
In two places	Collect the terms, then factorise

Key idea

Check by putting numbers in. If y = 5x + c with x = 3 and c = 2 gives y = 17, then (17 − 2) ÷ 5 should give 3 back.

Key idea

Show every move on its own line. Each correct move earns a mark, even if a slip spoils the final answer. An answer with no working scores nothing if it is wrong.

تدرّب على إعادة ترتيب الصيغ

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح إعادة ترتيب الصيغ

1. What Rearranging Means

2. Undo, Last Thing First

3. A Minus in Front of the Letter

4. Brackets in the Formula

5. Fractions and Squares

6. Square Roots and Cubes (Extended/Higher)

7. Subject Appears Twice (Extended/Higher)

8. Twice and Under a Root (Extended/Higher)

9. Which Method? Read the Question

تدرّب على إعادة ترتيب الصيغ

أسئلة امتحانات سابقة على إعادة ترتيب الصيغ، محلولة ومشروحة بالعربي