شرح التكامل: عكس الاشتقاق

Integration: Undoing Differentiation

يأتي في امتحانات Edexcel Further Pure Maths 4PM1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Rewind differentiation

الاشتقاق يأخذ المنحنى ويعطيك ميله، والتكامل يسير في الاتجاه المعاكس: تعرف الميل فتجد المنحنى. فإذا كنت تعرف أن مشتقة مكعب السين هي ثلاثة أمثال مربعها، فتكامل ثلاثة أمثال مربع السين يعيدك إلى مكعبها. لكن مكعب السين مضافًا إليه أي عدد له المشتقة نفسها، لأن العدد الثابت يختفي عند الاشتقاق، فلا نعرف قيمته عند الإرجاع؛ لذلك نضيف ثابت التكامل رمزًا لهذا العدد المجهول. رمز التكامل يعني «كامل هذا»، والرمز بعده يخبرك أن المتغير هو السين. في المثال نتحقق من الجواب بالاشتقاق: الثابت ميله صفر فنعود إلى العبارة الأصلية. التكامل بلا حدود يسمى تكاملًا غير محدد، وأنهِه دائمًا بثابت التكامل، فنسيانه قد يكلّفك الدرجة الأخيرة. ورمز التكامل حرف إس ممدود اختاره لايبنتز من كلمة «المجموع» اللاتينية.

Differentiation takes a curve and gives you its gradient. Integration goes the other way: you know the gradient, and you find the curve. Think of it as the rewind button.

Example

You know that $\frac{d}{d x} (x^{3}) = 3 x^{2}$ . So if you rewind $3 x^{2}$ , you get back to $x^{3}$ .

But $x^{3} + 5$ and $x^{3} - 2$ also differentiate to $3 x^{2}$ . A number on its own disappears when you differentiate, so when you rewind you cannot know what it was. You write $+ c$ to stand for it.

Formula

\int 3 x^{2} d x = x^{3} + c

$\int$ — the integral sign. It means “integrate this”.
$d x$ — tells you the letter you are working with is x.
$c$ — the constant of integration: an unknown number.

Worked example

1
Check the answer by differentiating it.
2
$\frac{d}{d x} (x^{3} + c) = 3 x^{2} + 0$ — The c is a plain number, so its gradient is 0.
3
$= 3 x^{2}$ — We are back to the expression we integrated, so the answer is right.

Rule

An integral with no limits is called an indefinite integral. Always end it with + c. Mark schemes expect it, and leaving it out can cost the final mark.

Key idea

The integral sign is a long, stretched letter S. Gottfried Leibniz chose it in 1675 for “summa”, the Latin word for sum.

2. The power rule backwards

في الاشتقاق نضرب في الأس ثم نُنقص الأس واحدًا. في التكامل نعكس الخطوتين بترتيب معاكس: نزيد الأس واحدًا، ثم نقسم على الأس الجديد، ونضيف ثابت التكامل. هذا يصلح لكل أس إلا سالب واحد، لأننا سنقسم على صفر. والعدد المضروب في الحد ينتظر في مكانه ثم يُضرب في الجواب. احفظ القاعدة، فكامبريدج لا تعطي قوانين التفاضل والتكامل، وإدكسل تذكرها ضمن ما يجب حفظه. في المثال نكامل كل حد وحده: المربع يصبح مكعبًا ونقسم على ثلاثة، والسين وحدها أسّها واحد فتصبح مربعًا ونقسم على اثنين، والعدد وحده يكتسب سينًا. ثم نتحقق بالاشتقاق. الخطأ الشائع الضرب في الأس بحكم عادة الاشتقاق، والخطأ الثاني ترك العدد وحده دون أن يكتسب سينًا.

To differentiate, you multiply by the power, then take 1 off the power. To integrate, you undo both, in reverse order: add 1 to the power, then divide by the new power.

Formula

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + c

$n$ — the power of x. Any number except −1, because then you would divide by 0.
$c$ — the constant of integration.

A number in front just waits, then multiplies the answer:

Formula

\int a x^{n} d x = \frac{a x ^{n + 1}}{n + 1} + c

$a$ — the number in front of the power of x.

Rule

Learn this rule. 0606 and 4037 give no calculus formulas. 4PM1 lists it as a formula to learn.

Worked example

1
Find $\int (6 x^{2} - 4 x + 5) d x$ .
2
$6 x^{2} \to \frac{6 x ^{3}}{3} = 2 x^{3}$ — The power 2 becomes 3. Divide by the new power, 3.
3
$- 4 x \to \frac{- 4 x ^{2}}{2} = - 2 x^{2}$ — x is x to the power 1. The power becomes 2, so divide by 2.
4
$5 \to 5 x$ — A number on its own is 5 times x to the power 0. The power becomes 1, so divide by 1.
5
$\int (6 x^{2} - 4 x + 5) d x$ $= 2 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + c$ — Put the terms together and add + c.
6
$\frac{d}{d x} (2 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + c)$ $= 6 x^{2} - 4 x + 5$ — Check: differentiating takes you back to the start.

Common mistake

Multiplying by the power, out of differentiation habit. $\int x^{3} d x$ is $\frac{x ^{4}}{4} + c$ , not $3 x^{4}$ .

Common mistake

Leaving a plain number alone. When you integrate, a number gains an x: 5 becomes 5x.

Key idea

Up one, divide by the new power, + c. Then differentiate your answer to check — it takes ten seconds.

3. Roots and powers on the bottom

قاعدة الأس لا تعمل إلا على حدود من صورة عدد في السين مرفوعة لأس. الجذور والسين في مقام الكسر يجب إعادة كتابتها أولًا: الجذر يصبح أسًّا كسريًا، فالجذر التربيعي أس نصف، والسين في المقام تنتقل إلى البسط بأس سالب. في المثال نكتب الجذر أسّ نصف، ومقلوب مربع السين أسّ سالب اثنين، ثم نكامل: النصف زائد واحد يصبح ثلاثة أنصاف، والقسمة على ثلاثة أنصاف هي الضرب في ثلثين. وسالب اثنين زائد واحد يصبح سالب واحد، فنقسم على سالب واحد. وأخيرًا نرتّب الجواب ونعيد الأس السالب إلى مقام. الخطأ الشائع جمع الواحد إلى أس سالب في الاتجاه الخاطئ؛ إضافة واحد تقرّب الأس من الصفر. والخطأ الثاني القسمة على كسر بطريقة خاطئة؛ القسمة على كسر هي الضرب في مقلوبه.

The power rule only works on terms that look like a number times x to a power. Roots, and x on the bottom of a fraction, must be rewritten first.

Formula

m x^{k} = x^{\frac{k}{m}}

$m$ — the root: 2 for a square root, 3 for a cube root.
$k$ — the power under the root. So $x = x^{\frac{1}{2}}$ .

Formula

\frac{1}{x ^{n}} = x^{- n}

$n$ — the power on the bottom. Moving it to the top makes it negative.

Worked example

1
Find $\int (x + \frac{3}{x ^{2}}) d x$ .
2
$\int (x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{- 2}) d x$ — Rewrite first: the root is the power one half; x squared on the bottom is the power −2.
3
$x^{\frac{1}{2}} \to \frac{x ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ — One half plus 1 is three halves. Dividing by 3/2 is the same as multiplying by 2/3.
4
$3 x^{- 2} \to \frac{3 x ^{- 1}}{- 1} = - 3 x^{- 1}$ — −2 plus 1 is −1. Divide by −1.
5
$= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{x} + c$ — Tidy up: x to the power −1 is 1 over x.

Common mistake

Getting −3 from −2 + 1. Adding 1 to a negative power moves it towards zero: −2 + 1 = −1.

Common mistake

Dividing by a fraction the wrong way. Dividing by 3/2 means multiplying by 2/3, not by 3/2.

Key idea

Rewrite as powers first. Integrate second. Tidy last.

4. Brackets and fractions

لا توجد قاعدة ضرب في التكامل: تكامل حاصل الضرب لا يساوي حاصل ضرب التكاملين. لذلك قبل التكامل افكّ الأقواس وقسّم الكسور إلى حدود منفردة. في المثال الأول نفكّ القوسين أولًا فيصبح كل حد أسًّا واحدًا للسين، ثم نطبّق قاعدة الأس على كل حد ونضيف الثابت. وفي الثاني نقسم كل حد في البسط على المقام وحده، وقسمة القوى تعني طرح الأسس، فنحصل على أسّ موجب وأسّ سالب كسري، ثم نكامل كلًا منهما، والقسمة على سالب نصف هي الضرب في سالب اثنين. ثم نرتّب الجواب ونضيف الثابت. احذر خطأين: تكامل البسط والمقام كلًا على حدة، وتكامل كل قوس وحده ثم ضرب النتيجتين. القوس أو الكسر إشارة لك: حوّله إلى قائمة من قوى السين قبل التكامل.

There is no product rule for integration. The integral of a product is NOT the product of the integrals. So before you integrate, expand brackets and split fractions into single terms.

Worked example

1
Find $\int (x - 3) (2 x + 1) d x$ .
2
$(x - 3) (2 x + 1) = 2 x^{2} - 5 x - 3$ — Expand the brackets first.
3
$\int (2 x^{2} - 5 x - 3) d x$ — Now each term is a single power of x.
4
$= \frac{2 x ^{3}}{3} - \frac{5 x ^{2}}{2} - 3 x + c$ — Power rule on each term, then + c.

Worked example

1
Find $\int \frac{x ^{4} - 6 x}{x ^{2}} d x$ .
2
$\frac{x ^{4}}{x ^{2}} - \frac{6 x ^{\frac{1}{2}}}{x ^{2}}$ — Split: each term on top goes over the bottom on its own.
3
$= x^{2} - 6 x^{- \frac{3}{2}}$ — Dividing powers means subtracting: 4 − 2 = 2, and one half − 2 = −3/2.
4
$x^{2} \to \frac{x ^{3}}{3}$ — Power rule.
5
$- 6 x^{- \frac{3}{2}} \to \frac{- 6 x ^{- \frac{1}{2}}}{- \frac{1}{2}} = 12 x^{- \frac{1}{2}}$ — −3/2 plus 1 is −1/2. Dividing by −1/2 is multiplying by −2.
6
$\int \frac{x ^{4} - 6 x}{x ^{2}} d x = \frac{x ^{3}}{3} + \frac{12}{x} + c$ — Put together, tidy, and add + c.

Common mistake

Integrating the top and the bottom of a fraction separately. Split the fraction into single terms first.

Common mistake

Integrating each bracket on its own and multiplying the results. Always expand first.

Key idea

A bracket or a fraction is a signal: turn it into a list of single powers of x before you integrate.

5. When the power is −1

هذه البطاقة لطلاب كامبريدج فقط، وإدكسل لا تطلب تكامل مقلوب السين. جرّب قاعدة الأس على السين بأس سالب واحد: يصبح الأس صفرًا وستقسم على صفر، وهذا مستحيل، فالقاعدة تفشل هنا. لكنك تعرف دالة ميلها مقلوب السين، وهي اللوغاريتم الطبيعي، فتكامل مقلوب السين هو اللوغاريتم الطبيعي للسين زائد ثابت، والسين هنا موجبة لأن اللوغاريتم لا يُعرَّف إلا للأعداد الموجبة. احفظه فهو غير معطى، وفي الورقة بلا آلة اترك الجواب بصورة اللوغاريتم الدقيقة. في المثال نقسّم الكسر إلى حدين: السين تكامل بقاعدة الأس، والعدد على السين يبقى العدد أمام اللوغاريتم. الخطأ الشائع كتابة مقلوب مربع السين لوغاريتمًا؛ الأس سالب واحد فقط يعطي اللوغاريتم، وغيره بقاعدة الأس.

Rule

This step is for 0606 and 4037 only. 4PM1 does not ask you to integrate $\frac{1}{x}$ .

Try the power rule on $x^{- 1}$ : the power becomes 0, and you would divide by 0. That is impossible, so the power rule fails here.

But you already know a function whose gradient is $\frac{1}{x}$ : $\frac{d}{d x} (ln x) = \frac{1}{x}$ . Rewind it:

Formula

\int \frac{1}{x} d x = ln x + c

$x$ — must be positive here, because ln only works on positive numbers.
$ln$ — the natural logarithm, log to base e.

Rule

Learn it: 0606 and 4037 do not give it. On the non-calculator paper, leave answers in exact ln form.

Worked example

1
Find $\int \frac{x ^{2} + 5}{x} d x$ .
2
$\frac{x ^{2} + 5}{x} = x + \frac{5}{x}$ — Split the fraction into single terms.
3
$x \to \frac{x ^{2}}{2}$ — Power rule.
4
$\frac{5}{x} = 5 \times \frac{1}{x} \to 5 ln x$ — The 5 waits in front of the ln.
5
$\int \frac{x ^{2} + 5}{x} d x = \frac{x ^{2}}{2} + 5 ln x + c$ — Put together and add + c.

Common mistake

Writing $\frac{1}{x ^{2}}$ as $ln x^{2}$ . Only the power −1 gives ln. $\int x^{- 2} d x = - \frac{1}{x} + c$ by the power rule.

Key idea

Every power of x uses the power rule — except −1, which gives ln x.

6. Find the curve: work out c

أسئلة كثيرة تعطيك مشتقة الصاد بالنسبة للسين، أي الميل، ونقطة على المنحنى. التكامل يعطي المنحنى مع ثابت مجهول، والنقطة تحدّد هذا الثابت. الخطوات: كامل الميل لتحصل على الصاد مع الثابت، ثم عوّض بإحداثيي النقطة في معادلة الصاد، وحلّ لتجد الثابت، ثم اكتب معادلة المنحنى كاملة بقيمة الثابت. في المثال نكتب الجذر أسًّا ثم نكامل، ونعوّض بالنقطة، ونحسب قوة ثلاثة أنصاف بأخذ الجذر أولًا ثم التكعيب دون آلة. والفكرة نفسها مع رمز الدالة: إذا أُعطيت المشتقة ونقطة فكامل لتجد الدالة. الدرجات عادةً: واحدة للتكامل، وواحدة للحدود الصحيحة، وواحدة لاستعمال النقطة، وواحدة للمعادلة النهائية، فاكتب سطر التعويض. الخطأ الشائع التعويض بالنقطة في معادلة الميل؛ النقطة على المنحنى فتذهب إلى معادلة الصاد.

Many exam questions give you the gradient, $\frac{d y}{d x}$ , and one point on the curve. Integrating gives the curve with an unknown c. The point tells you what c is.

Steps

1
1. Integrate $\frac{d y}{d x}$ to get y. Include + c.
2. Put the x and y of the point into your equation for y.
3. Solve for c.
4. Write the full equation of the curve with the number for c.

Worked example

1
A curve has gradient $\frac{d y}{d x} = 3 x - 2$ and passes through $(4, 10)$ . Find the equation of the curve.
2
$y = \int (3 x^{\frac{1}{2}} - 2) d x$ — Rewrite the root as a power, then integrate.
3
$y = 2 x^{\frac{3}{2}} - 2 x + c$ — 3 divided by 3/2 is 2. Do not forget + c.
4
$10 = 2 (4)^{\frac{3}{2}} - 2 (4) + c$ — Put x = 4 and y = 10 into the equation for y.
5
$4^{\frac{3}{2}} = (4)^{3} = 8$ — Square root first, then cube. No calculator needed.
6
$10 = 16 - 8 + c, c = 2$ — Solve for c.
7
$y = 2 x^{\frac{3}{2}} - 2 x + 2$ — The full equation of the curve.

The same idea works with function notation: if you are given $f^{'} (x)$ and a point, integrate to find $f (x)$ .

Marks usually go: one for integrating, one for the correct terms, one for using the point, one for the final equation. So show the substitution line.

Common mistake

Putting the point into $\frac{d y}{d x}$ . The point is on the curve, so it goes into the equation for y.

Key idea

No + c, no way to use the point. The c is exactly what the point fixes.

7. “Hence” questions

بعض الأسئلة تطلب الاشتقاق أولًا ثم تقول «ومن ثمّ جد» تكاملًا. «ومن ثمّ» تعني: استعمل الجواب الذي وجدته للتو، لأن التكامل يعكس الاشتقاق. إذا كانت العبارة المطلوب تكاملها مضاعفًا للمشتقة التي وجدتها، فالتكامل هو هذا المضاعف في الدالة الأصلية زائد ثابت. في المثال نقسّم الكسر إلى حدين بأسس كسرية ثم نشتق كل حد. بعدها نقارن العبارة المطلوب تكاملها بالمشتقة فنجد أنها مضاعف ثابت لها، فيكون الجواب المضاعف نفسه في الدالة الأصلية مع ثابت التكامل. في الامتحانات الحقيقية تكون المشتقة في الجزء الأول صعبة أحيانًا، لكن حركة الجزء الثاني واحدة دائمًا: جد العدد المضاعف، واكتبه في الدالة الأصلية، وأضف الثابت. الخطأ الشائع نسيان العدد المضاعف وكتابة الدالة الأصلية وحدها.

Some questions ask you to differentiate first, then say “hence find” an integral. Hence means: use the answer you just found. Integration undoes differentiation.

Formula

\int k g (x) d x = k F (x) + c

$F (x)$ — the function you differentiated in the first part.
$g (x)$ — its derivative, so $F^{'} (x) = g (x)$ .
$k$ — a number. Find it by comparing the integral with your derivative.

Worked example

1
(a) Given $y = \frac{x ^{3} + 2}{x}$ , find $\frac{d y}{d x}$ . (b) Hence find $\int (5 x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{- \frac{3}{2}}) d x$ .
2
$y = x^{\frac{5}{2}} + 2 x^{- \frac{1}{2}}$ — Split the fraction: 3 − one half = 5/2, and 2 over root x is 2x to the power −1/2.
3
$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} - x^{- \frac{3}{2}}$ — Differentiate each term.
4
$5 x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{- \frac{3}{2}} = 2 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} - x^{- \frac{3}{2}})$ — Compare: the expression to integrate is exactly 2 times dy/dx, so k = 2.
5
$\int (5 x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{- \frac{3}{2}}) d x = \frac{2 ( x ^{3} + 2 )}{x} + c$ — Integrating 2 times dy/dx gives 2y. Then add + c.

In real exams the derivative in part (a) is often a hard one. The move in part (b) is always the same: find k, write k times the original function, add + c.

Common mistake

Forgetting the number k. If the integral is 2 times your derivative, the answer is 2y + c, not y + c.

Key idea

“Hence” means the hard work is already done. Spot the k, then write k times what you differentiated, + c.

8. Which method? Read the question

اقرأ السؤال أولًا. إذا طُلب تكامل قوى للسين فزد الأس واحدًا واقسم على الأس الجديد وأضف الثابت. إذا رأيت جذرًا أو السين في المقام فأعد الكتابة بأسس أولًا. إذا رأيت أقواسًا أو كسرًا فافكّ أو قسّم إلى حدود منفردة أولًا. إذا رأيت مقلوب السين في كامبريدج فالجواب اللوغاريتم الطبيعي للسين زائد ثابت. إذا أُعطي الميل ونقطة فكامل مع الثابت، وعوّض بالنقطة في الصاد، وجد الثابت. وإذا جاءت «ومن ثمّ» بعد مشتقة فالجواب مضاعف لما اشتققته زائد ثابت. الخطأ الشائع التوقف دون ثابت التكامل في التكامل غير المحدد، وهي أسهل درجة تضيع. وإذا لم تكن متأكدًا فاشتق جوابك: يجب أن تعود إلى السؤال.

Read the question first. What you see tells you what to do.

You see	You do
“Find $\int \dots d x$ ” with powers of x	Add 1 to the power, divide by the new power, + c
A root, or x on the bottom	Rewrite as $x^{n}$ first
Brackets or a fraction	Expand or split into single terms first
$\frac{1}{x}$ (0606 / 4037)	$ln x + c$
The gradient and a point	Integrate with + c, put the point into y, find c
“Hence” after a derivative	k times what you differentiated, + c

Common mistake

Stopping without + c on an indefinite integral. It is the easiest mark to lose.

Key idea

Integration is differentiation run backwards. When unsure, differentiate your answer: you should get back the question.

تدرّب على التكامل: عكس الاشتقاق

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح التكامل: عكس الاشتقاق

1. Rewind differentiation

2. The power rule backwards

3. Roots and powers on the bottom

4. Brackets and fractions

5. When the power is −1

6. Find the curve: work out c

7. “Hence” questions

8. Which method? Read the question

تدرّب على التكامل: عكس الاشتقاق

أسئلة امتحانات سابقة على التكامل: عكس الاشتقاق، محلولة ومشروحة بالعربي