شرح الأعداد النسبية

Rational Numbers

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Rational Number Is

العدد النسبي هو أي عدد يمكن كتابته على صورة كسر بسطه عدد صحيح ومقامه عدد صحيح، بشرط ألا يكون المقام صفرًا. لتثبت أن عددًا نسبي يكفي أن تكتبه على صورة كسر، مهما كان شكله في البداية. الكسر العشري المنتهي تكتبه كأجزاء من عشرة أو مئة ثم تبسطه. والعدد الكسري تحوله إلى كسر عادي بضرب العدد الصحيح في المقام وإضافة البسط. والكسر العشري الدوري يمكن دائمًا كتابته ككسر، وطريقة الإثبات في درس الكسور العشرية الدورية. والجذر الذي يخرج ناتجه بالضبط ويكون كسرًا عشريًا منتهيًا هو عدد نسبي أيضًا. الخطأ الشائع الاعتقاد أن العدد النسبي يجب أن يظهر ككسر، والصحيح أنه يكفي أن يمكن كتابته ككسر، فالعدد السالب الصحيح يُكتب على مقام واحد.

A rational number can be written as one integer over another, like $\frac{p}{q}$ . The bottom, $q$ , must not be zero.

To show a number is rational, write it as a fraction. The number can look like anything to start with.

Worked example

1
$2.35 = \frac{235}{100}$ — 2.35 has two decimal places, so it is 235 hundredths. That is already one integer over another.
2
$\frac{235}{100} = \frac{47}{20}$ — Divide top and bottom by 5 to simplify. Simplest form is neater, and it is still integer over integer.
3
$3 \frac{2}{3} = \frac{3 \times 3 + 2}{3}$ — Turn the mixed number into thirds: 3 wholes are 3 × 3 = 9 thirds, plus the 2 thirds.
4
$\frac{9 + 2}{3} = \frac{11}{3}$ — 9 + 2 = 11, so it is 11 over 3.
5
$0.777 \dots = \frac{7}{9}$ — Check it: 7 ÷ 9 = 0.777…. Every repeating decimal can be written as a fraction. The Recurring Decimals lesson shows how to prove it.
6
$0.49 = 0.7$ — 0.7 × 0.7 = 0.49, so the square root comes out exactly. It does not go on for ever.
7
$0.7 = \frac{7}{10}$ — 0.7 is 7 tenths, so this root is one integer over another.

Key idea

Each coloured answer is one integer over another. That is all the proof you need.

Common mistake

Thinking a rational number must look like a fraction. It only has to be possible to write it as one: $- 6 = \frac{- 6}{1}$ .

2. Will the Decimal Stop or Repeat?

سؤال الدرجتين: بدون آلة حاسبة، هل يعطي الكسر عددًا عشريًا منتهيًا أم دوريًا يتكرر بلا نهاية؟ انظر إلى المقام فقط. أولًا بسّط الكسر، ثم حلل المقام إلى عوامله الأولية. إذا لم يكن فيه إلا الاثنان والخمسة فيمكن تحويله بالضرب إلى عشرة أو مئة أو ألف، لأن العشرة اثنان في خمسة، فيكون العدد العشري منتهيًا. أما إذا ظهر فيه عامل أولي آخر مثل الثلاثة، ولم يُختصر مع البسط، فلن يصبح المقام أبدًا من قوى العشرة، ويكون العدد العشري دوريًا. الخطأ الشائع عدم التبسيط أولًا، فقد يظهر في المقام عامل يُختصر مع البسط ويصبح الكسر منتهيًا.

The 2-mark question: without a calculator, say whether a fraction gives a decimal that stops or one that repeats for ever. Exams call these terminating (stops) and recurring (repeats). Look only at the bottom.

Worked example

1
$\frac{7}{40} : 40 = 2^{3} \times 5$ — Write the bottom as primes. 7 and 40 share no factor, so it is already simplified. Only 2s and 5s.
2
$\frac{7 \times 25}{40 \times 25} = \frac{175}{1000}$ — Multiply top and bottom by 25, because 40 × 25 = 1000. Since 10 = 2 × 5, a bottom of only 2s and 5s can always be made into 10, 100, 1000…
3
$\frac{175}{1000} = 0.175$ — 175 thousandths is 0.175. It stops, so it is terminating.
4
$\frac{7}{12} : 12 = 2^{2} \times 3$ — Now $\frac{7}{12}$ . Write 12 as primes: a factor 3 sneaks in. 7 and 12 share no factor, so the 3 cannot cancel.
5
$\frac{7}{12} = 0.58333 \dots$ — 10, 100, 1000… are made only of 2s and 5s, so a bottom with a 3 can never become one of them. The 3s go on for ever: recurring.

Rule

Simplify first. If the bottom has no prime factors except 2 and 5, the decimal terminates. Any other prime factor makes it recur.

Common mistake

Not simplifying. $\frac{3}{15}$ has a 3 below, but it is $\frac{1}{5} = 0.2$ , which stops.

3. A Rational Number Between Two Others

سؤال الدرجة الواحدة: اكتب عددًا نسبيًا يقع بين عددين. الطريقة المضمونة هي المنتصف: اجمع العددين ثم اقسم الناتج على اثنين. مع الكسور وحّد المقامات أولًا ثم اجمع، ثم خذ النصف، وتحقق بكتابة الأعداد الثلاثة بمقام واحد لترى أن عددك بينهما. أما بين جذرين تربيعيين فخمّن عددًا ثم ربّعه: يجب أن يقع مربعه بين العددين تحت الجذرين، لأن التربيع يحافظ على ترتيب الأعداد الموجبة، وإذا كان التخمين صغيرًا فجرّب أكبر منه. الخطأ الشائع الظن أنه لا يوجد عدد بين كسرين عشريين متتاليين، والحقيقة أنك تستطيع دائمًا إضافة رقم آخر بعد الفاصلة لتجد عددًا بينهما.

The 1-mark question: write down a rational number between two numbers. Halfway always works: add them, then halve.

Worked example

1
$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6}$ — Add the two numbers. Change both to sixths first, so the bottoms match.
2
$\frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$ — 2 + 3 = 5, so the total is 5 sixths.
3
$\frac{5}{6} \div 2 = \frac{5}{12}$ — Halve the total. Half of the sum of two numbers is always exactly halfway between them.
4
$\frac{4}{12} < \frac{5}{12} < \frac{6}{12}$ — Check with the same bottom: $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$ and $\frac{1}{2} = \frac{6}{12}$ . 5 is between 4 and 6, so it fits.

Between two roots, square your guess to check it.

Worked example

1
$2 < ? < 3$ — Squaring keeps positive numbers in order, so your number squared must land between 2 and 3.
2
$1. 4^{2} = 1.96$ — Try 1.4. 1.96 is less than 2, so 1.4 is too small.
3
$1.5^{2} = 2.25$ — Try 1.5. 2.25 is between 2 and 3, so it fits. And $1.5 = \frac{15}{10}$ , so it is rational.

Common mistake

Thinking nothing fits between 0.7 and 0.8. Add another digit: 0.75, or 0.71, or 0.799. There is always another one.

4. Which Method? Read the Question

كلمات السؤال تخبرك بالفكرة التي تستخدمها. «أثبت أنه نسبي»: اكتبه كعدد صحيح على عدد صحيح. «منتهٍ أم دوري؟»: بسّط الكسر ثم انظر هل المقام فيه الاثنان والخمسة فقط. «عدد نسبي بين عددين»: اجمع واقسم على اثنين، أو ربّع لتتحقق مع الجذور. أما تحويل الكسر العشري إلى كسر عادي بالطريقة الكاملة، وإثبات أن العدد الدوري كسر، والأعداد الطبيعية، والجذور التي لا تنتهي، فلكل منها درس خاص. وتذكّر: كل عدد صحيح، وكل كسر، وكل عدد عشري منتهٍ أو دوري، هو عدد نسبي.

The question's words tell you which idea to use.

You see	You do
Show it is rational	write it as integer over integer
Terminating or recurring?	simplify, then look for 2s and 5s below
A rational number between	add and halve, or square to check
Decimal to fraction, full method	Converting Decimals to Fractions
Prove a repeat is a fraction	Recurring Decimals
Counting numbers only	Natural Numbers
Roots that never end	Irrational Numbers

Key idea

Every integer, every fraction, every decimal that stops and every decimal that repeats is rational.

تدرّب على الأعداد النسبية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الأعداد النسبية

1. What a Rational Number Is

2. Will the Decimal Stop or Repeat?

3. A Rational Number Between Two Others

4. Which Method? Read the Question

تدرّب على الأعداد النسبية

أسئلة امتحانات سابقة على الأعداد النسبية، محلولة ومشروحة بالعربي