شرح تصنيف المثلثات

Classifying Triangles

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Names by Sides

سؤال بدرجة واحدة: اكتب الاسم الرياضي للمثلث. انظر أولًا إلى الأضلاع، والشرطات الصغيرة تدل على الأضلاع المتساوية. المثلث متساوي الأضلاع أضلاعه الثلاثة متساوية وكل زاوية فيه ستون درجة، والمثلث متساوي الساقين له ضلعان متساويان وزاويتان متساويتان، والمثلث مختلف الأضلاع لا تتساوى فيه أضلاع ولا زوايا. الأضلاع المتساوية تأتي دائمًا مع زوايا متساوية تقابلها. لمتساوي الساقين محور تماثل واحد يمتد من الرأس العلوي إلى منتصف القاعدة، ويقطعها عموديًا وينصّفها، ولمتساوي الأضلاع ثلاثة محاور. الخطأ الشائع: تسمية المثلث متساوي الساقين لأنه يبدو طويلًا ونحيفًا؛ تحتاج إلى ضلعين متساويين أو زاويتين متساويتين.

The 1-mark question: write down the mathematical name of a triangle. First look at the sides. Small ticks mark sides that are equal.

Name	Sides	Angles
Equilateral	all 3 equal	all 60°
Isosceles	2 equal	2 equal
Scalene	none equal	none equal

Key idea

Equal sides always come with equal angles. The equal angles sit opposite the equal sides.

Key idea

An isosceles triangle has one line of symmetry. It goes from the top corner to the middle of the base, meets the base at a right angle and cuts it in half. An equilateral triangle has three.

Common mistake

Calling a triangle isosceles because it looks tall and thin. You need two equal sides, or two equal angles.

2. Names by Angles

بعد الأضلاع انظر إلى أكبر زاوية. إذا كانت أقل من الزاوية القائمة فالمثلث حاد الزوايا، وإذا كانت قائمة تمامًا، ويدل عليها مربع صغير، فهو قائم الزاوية، وإذا كانت أكبر من القائمة فهو منفرج الزاوية. في المثال: ابحث أولًا عن زوايا متساوية لأنها تخبرك عن الأضلاع؛ لا توجد زاويتان متساويتان، إذن لا توجد أضلاع متساوية، فالمثلث مختلف الأضلاع. ثم انظر إلى أكبر زاوية فقط: إذا كانت أقل من القائمة فكل الزوايا كذلك، فالمثلث حاد الزوايا. الاسمان صحيحان معًا، فاكتب ما يطلبه السؤال: حسب الأضلاع أم حسب الزوايا. ويمكن أن تجتمع الأسماء، كمثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين في الوقت نفسه.

Then look at the biggest angle.

Name	Biggest angle
Acute	less than $9 0^{\circ}$
Right-angled	exactly $9 0^{\circ}$ (a small square)
Obtuse	more than $9 0^{\circ}$

Worked example

1
$8 0^{\circ}, 6 0^{\circ}, 4 0^{\circ}$ — The question gives three angles. Look for equal angles first, because they tell you about the sides.
2
$no two angles equal$ — Equal angles sit opposite equal sides. No angles match, so no sides match: the triangle is scalene.
3
$biggest: 8 0^{\circ} < 9 0^{\circ}$ — Now the angle name. Only the biggest angle matters: if it is under 90°, all three are.
4
$acute$ — All three angles are less than 90°, so it is an acute triangle.
5
$scalene and acute$ — Both names are true. Give the one the question asks for: by its sides or by its angles.

Key idea

Names can combine. Angles of $9 0^{\circ}, 4 5^{\circ}, 4 5^{\circ}$ make a right-angled isosceles triangle.

3. Use the Name to Find a Length

اسم المثلث يخبرك أي الأضلاع متساوية، فاستخدم ذلك لإيجاد ضلع مجهول. في المثال الأول: حدّد الضلعين المتساويين والضلع الثالث المختلف، ثم اطرح الضلع المختلف من المحيط، والباقي يتقاسمه الضلعان المتساويان بالتساوي فاقسمه على اثنين، ثم تحقّق بجمع الأضلاع الثلاثة. في المثال الثاني يُعطى أحد الضلعين المتساويين: اضربه في اثنين، ثم اطرح الناتج من المحيط لتحصل على الضلع الثالث. اكتب خطوات الحل، فسطر العملية وحده يأخذ درجة حتى لو أخطأت في الناتج النهائي. الخطأ الشائع: قسمة المحيط على ثلاثة؛ فالمثلث متساوي الأضلاع وحده أضلاعه الثلاثة متساوية.

The 2-mark question: the name tells you which sides are equal. Use that to find a missing side.

Triangle $A B C$ is isosceles with $A B = A C$ . $B C$ is 7 cm and the perimeter is 31 cm. Find $A B$ .

Worked example

1
$A B = A C$ — This tells you the two equal sides. The third side, BC = 7 cm, is the odd one out.
2
$31 - 7 = 24$ — Take the odd side off the perimeter. The 24 cm left is shared by the two equal sides.
3
$A B = 24 \div 2 = 12 cm$ — The two equal sides share the 24 cm evenly, so halve it.
4
$12 + 12 + 7 = 31 ✓$ — Check: the three sides add up to the perimeter, so 12 cm is right.

Sometimes you are given an equal side and asked for the third side. Each equal side is 9 cm and the perimeter is 25 cm.

Worked example

1
$2 \times 9 = 18$ — There are two sides of 9 cm, so together they make 18 cm.
2
$25 - 18 = 7 cm$ — The third side is whatever is left of the perimeter.

Key idea

Write the working, such as $(31 - 7) \div 2$ . That line earns a mark on its own, even if the final number slips.

Common mistake

Dividing 31 by 3. Only an equilateral triangle has three equal sides.

4. Name It From a Grid

بعض الأسئلة ترسم رؤوس المثلث على شبكة وتطلب اسمه. عُدّ المربعات ولا تعتمد على عينك. لكل ضلع عُدّ كم يتحرك أفقيًا وكم يتحرك صعودًا أو نزولًا. في المثال: ضلعان لهما الحركتان نفسيهما، أحدهما صاعد والآخر نازل، فهما متساويان في الطول. أما الضلع الثالث فأفقي، وطوله يختلف عنهما، لأن الضلع المائل يتحرك أفقيًا ورأسيًا معًا. ضلعان متساويان بالضبط يعنيان مثلثًا متساوي الساقين. لاحظ أن ترتيب الحركتين لا يغير الطول: ضلع يتحرك أفقيًا ثم رأسيًا بعددين يساوي ضلعًا يتحرك بالعددين نفسيهما بترتيب معكوس. الخطأ الشائع: التسمية حسب الشكل الظاهر، فمتساوي الساقين المائل قد يبدو مختلف الأضلاع؛ لذلك عُدّ المربعات دائمًا.

Some questions plot the three corners on a grid and ask for the triangle's name. Count squares instead of trusting your eye.

Worked example

1
$P (1, 1), Q (3, 5), R (5, 1)$ — The question gives three corners. For each side, count how far across and how far up or down it goes.
2
$P Q : 2 across, 4 up$ — From P to Q: x goes 1 → 3 (2 across), y goes 1 → 5 (4 up).
3
$QR : 2 across, 4 down$ — From Q to R: x goes 3 → 5, y goes 5 → 1. The same moves, only going down, so QR is as long as PQ.
4
$P R : 4 across, 0 up$ — PR is flat and 4 squares long. PQ goes 4 up as well as 2 across, so PQ is longer than 4: a different length.
5
$P Q = QR \Rightarrow isosceles$ — Exactly two sides match, so the triangle is isosceles.

Key idea

A side 2 across and 4 up is as long as a side 4 across and 2 up. The order of the moves does not change the length.

Common mistake

Naming it by how it looks. A tilted isosceles triangle can look scalene, so always count the squares.

5. Which Method? Read the Question

اقرأ أدلة الرسم بهذا الترتيب: الأضلاع أولًا ثم الزوايا. شرطات على ضلعين تعني مثلثًا متساوي الساقين، وشرطات على الأضلاع الثلاثة تعني متساوي الأضلاع. إذا كانت الرؤوس مرسومة على شبكة فعُدّ الحركة الأفقية والرأسية لكل ضلع. مربع صغير في أحد الأركان يعني مثلثًا قائم الزاوية، وزاوية أكبر من القائمة تعني مثلثًا منفرج الزاوية. أما إيجاد زاوية مجهولة أو تسمية الأشكال الرباعية فلهما دروس خاصة. وإذا أعطاك الرسم زوايا بدل الشرطات فاستخدمها: زاويتان متساويتان تعنيان أيضًا مثلثًا متساوي الساقين.

Read the diagram's clues in this order: sides first, then angles.

You see	You do
Ticks on two sides	isosceles
Ticks on all three sides	equilateral
Corners plotted on a grid	count across and up for each side
A small square in a corner	right-angled
An angle over 90°	obtuse
Find a missing angle	Angles in a Triangle
Name a four-sided shape	Quadrilateral Properties

Key idea

If the diagram gives angles, not ticks, use them: two equal angles also means isosceles.

تدرّب على تصنيف المثلثات

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح تصنيف المثلثات

1. Names by Sides

2. Names by Angles

3. Use the Name to Find a Length

4. Name It From a Grid

5. Which Method? Read the Question

تدرّب على تصنيف المثلثات

أسئلة امتحانات سابقة على تصنيف المثلثات، محلولة ومشروحة بالعربي