شرح المستقيمات المتعامدة والمتوازية

Perpendicular and Parallel Lines

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Parallel and Perpendicular

هناك علاقتان خاصتان بين مستقيمين. المستقيمان المتوازيان تبقى المسافة بينهما ثابتة ولا يلتقيان أبدًا، والمستقيمان المتعامدان يلتقيان بزاوية قائمة. في الرياضيات توجد رموز مختصرة لكتابة التوازي والتعامد بين قطعتين مستقيمتين. ومن الحياة: قضبان السكة الحديدية متوازية، وركن الصفحة مثال على التعامد.

Two straight lines can be special in two ways.

Word	Meaning
Parallel	always the same distance apart, never meet
Perpendicular	meet at a right angle, $9 0^{\circ}$

In maths you can write $A B ∥ C D$ for parallel and $A B ⊥ C D$ for perpendicular.

Key idea

Railway tracks are parallel. The corner of a page is perpendicular.

2. Marking Parallel Sides

سؤال بدرجة واحدة: حدّد على الرسم زوجًا من الأضلاع المتوازية باستخدام الأسهم. أولًا ابحث عن ضلعين في الاتجاه نفسه لا يلتقيان أبدًا. ثم ارسم السهم نفسه على الضلعين، متجهًا في الاتجاه نفسه. وإذا أردت تحديد زوج ثانٍ فاستخدم سهمين مزدوجين حتى لا يختلط الزوجان. الخطأ الشائع: وضع سهم على ضلع واحد فقط أو على أضلاع زائدة؛ ضع الأسهم على ضلعين بالضبط، فأي سهم على ضلع آخر يضيّع الدرجة. تذكّر: شبه المنحرف له زوج واحد فقط من الأضلاع المتوازية، ومتوازي الأضلاع له زوجان.

The 1-mark question: on the diagram, mark with arrows a pair of parallel sides.

Steps

1
Find two sides that point the same way and would never meet.
2
Draw the same arrow on both sides, pointing the same way.
3
For a second pair, use double arrows so the pairs do not mix up.

Common mistake

Putting an arrow on only one side, or on extra sides. The arrows show one pair, so put them on exactly two sides. An arrow on any other side loses the mark.

Key idea

A trapezium has exactly one pair of parallel sides. A parallelogram has two pairs.

3. Perpendicular Lines

المربع الصغير في الركن يعني زاوية قائمة، أي أن الخطين متعامدان. في شبه المنحرف المرسوم يوجد مربع صغير عند أحد الرؤوس، وضلعان عليهما السهم نفسه. اقرأ الرسم معلومة بعد معلومة: المربع الصغير يخبرك أن الضلعين عنده متعامدان، والأسهم المتطابقة تخبرك أن الضلعين متوازيان ويتجهان الاتجاه نفسه. وبما أن الضلع العمودي يصنع زاوية قائمة مع أحد المتوازيين، فهو يصنع الزاوية القائمة نفسها مع الآخر. القاعدة: المستقيم العمودي على أحد مستقيمين متوازيين يكون عموديًا على كليهما.

A small square in a corner means a right angle. The two lines are perpendicular.

In trapezium ABCD (next screen), there is a square at A, and AB and DC carry the same arrows. Read the diagram one fact at a time.

Worked example

1
$A D ⊥ A B$ — There is a small square at A, so AD and AB meet at 90°. Meeting at 90° is what perpendicular means.
2
$A B ∥ D C$ — AB and DC carry the same arrows. Matching arrows mark a parallel pair, so they point the same way.
3
$A D ⊥ D C$ — AD makes 90° with AB. DC points the same way as AB, so AD makes the same 90° with DC.

Key idea

A line perpendicular to one of two parallel lines is perpendicular to both.

4. Drawing Perpendicular and Parallel Lines

يُطلب منك رسم مستقيم يمر بنقطة معلومة ويكون عموديًا على مستقيم آخر أو موازيًا له. على الورق العادي: ضع ركن المثلث القائم أو علامة الزاوية القائمة في المنقلة على المستقيم عند النقطة، واجعل أحد الحرفين على المستقيم، ثم ارسم بالمسطرة على الحرف الآخر مرورًا بالنقطة، وارسم مربعًا صغيرًا لتوضيح الزاوية القائمة. على ورق المربعات: عُدّ خطوات المستقيم، كم مربعًا يمينًا وكم مربعًا لأعلى، فهذا هو اتجاهه. للعمودي: بدّل العددين، ثم اقلب اتجاه الصعود إلى نزول؛ التبديل مع قلب اتجاه واحد يدير المستقيم ربع دورة. ابدأ من النقطة، وعُدّ الخطوات الجديدة، وضع نقطة، ثم صِل بينهما بالمسطرة وارسم المربع الصغير. أما للمستقيم الموازي فلا تبدّل شيئًا، بل استخدم خطوات المستقيم الأصلي نفسها. الخطأ الشائع: تبديل العددين مع إبقاء الاتجاه لأعلى، فلا يكون المستقيم عموديًا ولا تأخذ أي درجة.

Exams ask you to draw a line through a point P that is perpendicular (or parallel) to a line. Here is how, on plain paper and on a grid.

Steps

1
Plain paper: put the corner of a set square (or the 90° mark of a protractor) on the line at P.
2
Line one edge up with the line, then rule along the other edge through P.
3
Draw a small square at P to show the right angle.

On a grid: line l goes 3 squares right for every 1 square up. Draw the perpendicular through P.

Worked example

1
$l : 3 right, 1 up$ — Count the squares along l, from one grid corner it passes through to the next. This step pattern is the line's direction.
2
$1 right, 3 up$ — Swap the two numbers. This is half of the quarter turn.
3
$1 right, 3 down$ — Now change up to down. Swap plus one change of direction turns the line through 90°.
4
$from P : 1 right, 3 down$ — Start at P, count the steps and mark a dot. Rule a line through P and the dot, and draw the small square.

Key idea

For a parallel line through P, do not swap anything: use the same steps as l, 3 right and 1 up.

Common mistake

Swapping the numbers but keeping “up”. A line 1 right, 3 up is not at 90° to l, so it scores nothing.

5. Which Method? Read the Question

التوازي يعني أن المستقيمين لا يلتقيان أبدًا، والتعامد يعني أنهما يلتقيان بزاوية قائمة. إذا طُلب منك شرح معنى التوازي فقل: تبقى المسافة بينهما ثابتة ولا يلتقيان. لتحديد زوج متوازٍ ضع السهم نفسه على الضلعين، ولتحديد زاوية قائمة ارسم مربعًا صغيرًا في الركن. أما رسم مستقيم عمودي يمر بنقطة، وزوايا مستقيم يقطع متوازيين، وتسمية الأشكال الرباعية، فلكل منها درس خاص. للتحقق استخدم المسطرة: الأضلاع المتوازية تبقى المسافة بينها ثابتة على طولها كله.

Parallel means never meeting. Perpendicular means meeting at a square corner.

You see	You do
Explain what parallel means	always the same distance apart, never meet
Mark a pair of parallel sides	same arrow on both sides
Mark a right angle	small square in the corner
Draw a line through P at 90° to a line	Drawing Perpendicular and Parallel Lines
Angles where a line crosses parallel lines	Angles in Parallel Lines
Name the quadrilateral	Quadrilateral Properties

Key idea

Check with a ruler: parallel sides stay the same distance apart all the way along.

تدرّب على المستقيمات المتعامدة والمتوازية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح المستقيمات المتعامدة والمتوازية

1. Parallel and Perpendicular

2. Marking Parallel Sides

3. Perpendicular Lines

4. Drawing Perpendicular and Parallel Lines

5. Which Method? Read the Question

تدرّب على المستقيمات المتعامدة والمتوازية

أسئلة امتحانات سابقة على المستقيمات المتعامدة والمتوازية، محلولة ومشروحة بالعربي