شرح متجهات الموضع

Position Vectors

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Position Vector Is

متجه الموضع هو متجه يبدأ من نقطة الأصل وينتهي عند نقطة ما. عدداه هما نفس إحداثيي النقطة: الإحداثي السيني في الأعلى والإحداثي الصادي في الأسفل. ويُرمز له عادةً بالحرف الصغير المقابل لاسم النقطة، فلكل نقطة متجه موضع يحمل حرفها نفسه بالصورة الصغيرة.

A position vector starts at the origin O and ends at a point. Its numbers are the same as the point's coordinates.

Steps

1
A(3, −2): $O A = a = (3 - 2)$
2
B(0, 5): $O B = b = (05)$

Key idea

The small letter goes with the capital: point A has position vector $a$ , point B has $b$ .

2. The Vector Between Two Points

أكثر سؤال شائع: أوجد المتجه بين نقطتين. الفكرة أن ترجع من النقطة الأولى إلى نقطة الأصل، ثم تخرج من الأصل إلى النقطة الثانية؛ الرجوع يعني إشارة سالب. النتيجة قاعدة تستخدمها دائمًا: متجه موضع النهاية ناقص متجه موضع البداية. اكتب العمودين، وضع الأعداد السالبة بين أقواس، ثم اطرح العلوي من العلوي والسفلي من السفلي، وتذكّر أن طرح السالب جمع. الخطأ الشائع هو طرح النهاية من البداية، فتحصل على المتجه المعاكس وكل إشاراته خاطئة.

The most common question: find $A B$ from the two points. Go back from A to O, then out from O to B.

Worked example

1
$a = (- 2 3), b = (41)$ — A is (−2, 3) and B is (4, 1). A position vector has the same numbers as the point, so write each as a column.
2
$A B = A O + O B = - a + b$ — Walk from A back to O, then out to B. Going back along a is the opposite of a, so it gets a minus.
3
$A B = b - a$ — Write the positive one first. It is end point minus start point, and you can use it every time.
4
$A B = (41) - (- 2 3)$ — Put in the two columns. Keep the brackets round the negative number so its sign is not lost.
5
$4 - (- 2) = 6$ — Do the top numbers. Taking away a negative adds, so this is 4 + 2.
6
$1 - 3 = - 2$ — Do the bottom numbers.
7
$A B = (6 - 2)$ — Write the two answers back into one column.

Rule

$A B = b - a$ : end minus start.

Common mistake

Working out a − b. That is the vector from B to A, with both signs wrong.

3. Finding a Point From a Vector

في سؤال الدرجات الثلاث تُعطى نقطة وبعض المتجهات، ويُطلب إحداثيا نقطة جديدة. ابدأ من النقطة المعروفة: متجه موضعها له نفس أعدادها. ثم أضف كل حركة بالترتيب، العلوي إلى العلوي والسفلي إلى السفلي، وكل حركة تبدأ من حيث انتهت الحركة السابقة. الناتج متجه موضع، فاكتبه كنقطة بالأعداد نفسها. الخطأ الشائع هو طرح الحركة بدلًا من جمعها، فتذهب في الاتجاه المعاكس.

The 3-mark question gives a point and some vectors, and asks for the coordinates of a new point. Start at the point you know and add each move.

Worked example

1
$A (2, 5), A B = (4 - 3)$ — You know where A is and the move from A to B. You want the coordinates of B.
2
$O B = O A + A B$ — To reach B, walk from O to A, then take the move from A to B.
3
$O B = (25) + (4 - 3)$ — OA has the same numbers as the point A. Put the two columns in.
4
$2 + 4 = 6$ — Add the top numbers.
5
$5 + (- 3) = 2$ — Add the bottom numbers. Adding −3 is the same as taking 3 away.
6
$O B = (62) \Rightarrow B (6, 2)$ — A position vector has the same numbers as its point, so this is the point B.
7
$B C = (- 1 6)$ — One more move. It starts at B, where the last one finished.
8
$O C = O B + B C = (62) + (- 1 6)$ — Walk from O to B, then take the move from B to C.
9
$6 + (- 1) = 5$ — Add the top numbers.
10
$2 + 6 = 8$ — Add the bottom numbers.
11
$O C = (58) \Rightarrow C (5, 8)$ — Write the point with the same numbers.

Common mistake

Subtracting the move. You add the vector to go from A to B. Subtracting takes you the other way, to (−2, 8).

4. Working Backwards to the Start

أحيانًا تعرف أين ينتهي المتجه وتريد النقطة التي بدأ منها. هنا امشِ بالعكس: اطرح الحركة من متجه موضع النهاية. اكتب العمودين، وضع العدد السالب بين قوسين، واطرح العلوي من العلوي والسفلي من السفلي، ثم اكتب الناتج كنقطة. تحقّق: إذا بدأت من النقطة التي وجدتها وأضفت الحركة يجب أن تصل إلى نقطة النهاية. القاعدة: إذا عرفت البداية فاجمع الحركة، وإذا عرفت النهاية فاطرحها، واقرأ الحرفين بالترتيب لتعرف أيهما البداية. اكتب سطر الطرح في الحل، لأن معظم الدرجات على خطوات العمل.

Sometimes you know where the vector ends and need the point it started from. Walk the other way: take the move away.

Q is the point with $O Q = (14)$ and $P Q = (- 3 5)$ . Find the coordinates of P.

Worked example

1
$O Q = O P + P Q$ — Going from O to P and then from P to Q reaches Q. You know the end and the move, but not the start.
2
$O P = O Q - P Q$ — Take PQ away from both sides to leave OP on its own.
3
$O P = (14) - (- 3 5)$ — Put in the columns, with brackets round the negative number.
4
$1 - (- 3) = 4$ — Subtract the top numbers. Taking away −3 adds 3.
5
$4 - 5 = - 1$ — Subtract the bottom numbers.
6
$O P = (4 - 1) \Rightarrow P (4, - 1)$ — The position vector has the same numbers as the point.
7
$(4 - 1) + (- 3 5) = (14)$ — Check it: starting at P and adding PQ must land on Q, and it does.

Rule

You know the start: add the move. You know the end: subtract the move. In $B A$ the end is A and the start is B, so read the letters in order.

Key idea

Show the line $O P = O Q - P Q$ . Most of the marks are for the working, so a correct line with a slip in the arithmetic still scores.

5. The Midpoint

نقطة المنتصف تقع في منتصف المسافة تمامًا بين النقطتين. متجه موضعها هو نصف مجموع متجهي موضع النقطتين: اجمع العددين العلويين واجمع العددين السفليين، ثم اقسم كل ناتج على اثنين. الناتج هو إحداثيا نقطة المنتصف. الخطأ الشائع هو أخذ نصف الفرق بين المتجهين، وهذا يعطي نصف الحركة من النقطة الأولى إلى الثانية وليس موقع نقطة المنتصف.

The midpoint M of AB is exactly halfway. Its position vector is half of $a + b$ : add the two vectors and halve.

Formula

m = \frac{1}{2} (a + b)

Worked example

1
$a = (- 2 3), b = (41)$ — Same points, A(−2, 3) and B(4, 1). Write their position vectors as columns.
2
$a + b = (- 2 + 4 3 + 1)$ — Add the top numbers together and the bottom numbers together. Halving this sum finds the number halfway between.
3
$a + b = (24)$ — Work out each sum.
4
$m = \frac{1}{2} (24)$ — Halve it. The midpoint is exactly halfway between A and B.
5
$m = (12) \Rightarrow M (1, 2)$ — Half of 2 is 1 and half of 4 is 2. The position vector gives the coordinates of M.

Common mistake

Halving b − a. That gives half the move from A to B, not the position of M.

6. Which Method? Read the Question

ابحث عن نقطة الأصل، وحدّد أي نقطة هي البداية. متجه موضع نقطة له نفس إحداثياتها. المتجه بين نقطتين هو النهاية ناقص البداية. إحداثيا نقطة جديدة: نقطة البداية زائد كل حركة. إحداثيا نقطة البداية: نقطة النهاية ناقص الحركة. نقطة المنتصف: نصف مجموع متجهي الموضع. أما المسافة بين نقطتين، أو التعبير عن النقاط في شكل بدلالة متجهين، فلكل منهما درس خاص. ونصيحة: ارسم الأسهم في رسم سريع لترى أي نقطة هي البداية وأيها النهاية.

Look for the origin O, and for which point is the start.

You see	You do
Position vector of a point	same numbers as its coordinates
Find AB from two points	b − a, end minus start
Coordinates of a new point	start point plus each move
Coordinates of the start point	end point minus the move
Midpoint	half of a + b
How far apart?	Magnitude of a Vector
Points in a shape with a and b	Expressing Vectors in Terms of a and b

Key idea

Draw the arrows on a quick sketch. It shows you which point is the start and which is the end.

تدرّب على متجهات الموضع

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح متجهات الموضع

1. What a Position Vector Is

2. The Vector Between Two Points

3. Finding a Point From a Vector

4. Working Backwards to the Start

5. The Midpoint

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على متجهات الموضع

أسئلة امتحانات سابقة على متجهات الموضع، محلولة ومشروحة بالعربي