شرح الاحتمال من الجداول والرسوم البيانية

Probability from Tables and Charts

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Probability Table Shows

جداول الامتحان نوعان، فانظر إلى الأعداد داخل الجدول قبل أن تبدأ. إذا كان الجدول يحتوي على أعداد (كم شيئًا)، فاجمع كل الصفوف أولًا لتعرف العدد الكلي، ثم اقسم العدد المطلوب على الكلي. وإذا كان يحتوي على احتمالات بالأعداد العشرية، فتذكر أن مجموعها كلها واحد. والرسم البياني يعامَل مثل الجدول: اقرأ الأعمدة أو القطاعات ثم استعملها بالطريقة نفسها.

Exam tables come in two kinds. Look at the numbers inside before you start.

The table holds	You do
counts: how many	count over the total
probabilities: 0.3, 0.25	they add up to 1

A chart works the same way. Read the bars or the slices, then use them like a table.

Rule

A count table: add every row to get the total first. A probability table: every row together makes 1.

2. Reading a Frequency Table

يُختار شخص أو شيء عشوائيًا، وتحسب الاحتمال من جدول التكرار. أولًا اجمع كل الصفوف لتحصل على العدد الكلي، فهو المقام في كل احتمال. ثم حدّد الصفوف التي تحقق الشرط واجمع تكراراتها لتضعها في البسط، ثم بسّط الكسر إن أمكن. الخطأ الشائع: القسمة على عدد الصفوف بدل العدد الكلي للأشياء. وفي القطاع الدائري: مجموع الزوايا دورة كاملة، أي ثلاثمئة وستون درجة، وهي تقوم مقام العدد الكلي، فالاحتمال هو زاوية القطاع على الدورة الكاملة. وفي الأعمدة البيانية: اقرأ ارتفاع كل عمود واستعمله كأنه جدول.

The 1 or 2-mark question: one person or thing is chosen at random. Find the probability from the table.

60 flights were late. The table shows how many minutes late.

Minutes late	Flights
$0 < t \leq 5$	14
$5 < t \leq 10$	22
$10 < t \leq 20$	15
$20 < t \leq 30$	9

Worked example

1
$14 + 22 + 15 + 9 = 60$ — Add every row. This is the total number of flights, and it goes on the bottom of each probability.
2
$P (t \leq 5) = \frac{14}{60}$ — Only the first row is 5 minutes or less, so 14 flights out of 60.
3
$= \frac{7}{30}$ — Divide the top and the bottom by 2 to simplify.
4
$P (t > 10) = \frac{15 + 9}{60}$ — More than 10 minutes means the last two rows, so add their counts.
5
$= \frac{24}{60} = \frac{2}{5}$ — 15 + 9 = 24. Then divide the top and the bottom by 12.

Common mistake

Dividing by 4 because there are 4 rows. The bottom is the number of flights, 60.

From a pie chart. A pie chart shows how students travel to school: bus 150°, walk 96°, car 114°. One student is chosen at random. Find P(walk).

Worked example

1
$150 + 96 + 114 = 360$ — The slices make the whole circle, 360°. The circle stands for everyone, so 360 plays the part of the total.
2
$P (walk) = \frac{96}{360}$ — The walk slice's angle over the whole circle.
3
$= \frac{4}{15}$ — Divide the top and the bottom by 24 to simplify.

Key idea

A bar chart? Read each bar's height, then use one bar over all the bars added, just like a table.

3. Find x in a Probability Table

حجر نرد غير منتظم، وبعض الاحتمالات في الجدول مكتوبة بدلالة مجهول. الطريقة: مجموع كل الاحتمالات يساوي واحدًا. اجمع أولًا الحدود التي فيها المجهول، ثم اجمع الأعداد المعروفة، واكتب معادلة تجعل المجموع كله واحدًا. اطرح المعروف من الطرفين ثم اقسم لتجد قيمة المجهول. بعدها عوّض بقيمته في كل صف يطلبه السؤال، واضرب قبل أن تجمع. وإذا طُلب تقدير عدد المرات فاضرب الاحتمال في عدد الرميات. الخطأ الشائع: أن تأخذ قيمة المجهول نفسها لصف مكتوب فيه ثلاثة أمثاله مثلًا. ومجرد كتابة المعادلة الصحيحة يأخذ درجة طريقة، وإذا أُعطيت نسبة بين احتمالين فاكتبهما مضاعفين للمجهول نفسه.

The 4-mark question: a biased dice. Some probabilities are written with x. Make them add to 1, solve for x, then answer the question.

Number	Probability
1	$2 x$
2	0.14
3	$x$
4	$3 x$
5	0.22
6	$2 x$

The dice is thrown 250 times. Estimate how many times it lands on an even number.

Worked example

1
$2 x + x + 3 x + 2 x = 8 x$ — Collect the rows with x in them: 2 + 1 + 3 + 2 makes 8 lots of x.
2
$0.14 + 0.22 = 0.36$ — Add the rows that are plain numbers.
3
$8 x + 0.36 = 1$ — The whole table must add up to 1, so write that as an equation.
4
$8 x = 1 - 0.36 = 0.64$ — Take 0.36 from both sides.
5
$x = 0.64 \div 8 = 0.08$ — Divide both sides by 8 to find x.
6
$P (even) = 0.14 + 3 x + 2 x$ — Even means 2, 4 and 6, so add those three rows.
7
$= 0.14 + 3 (0.08) + 2 (0.08)$ — Put x = 0.08 into each row.
8
$= 0.14 + 0.24 + 0.16 = 0.54$ — Multiply first: 3 × 0.08 = 0.24 and 2 × 0.08 = 0.16. Then add.
9
$0.54 \times 250 = 135$ — Probability times throws: about 135 even numbers in 250 throws.

Common mistake

Using x for row 4. Row 4 is 3x, so it is $3 \times 0.08 = 0.24$ . Multiply every x before you add.

Key idea

Given a ratio instead, like blue : green = 5 : 2? Call them 5x and 2x, then use the same method. Writing “8x + 0.36 = 1” earns a method mark on its own.

Key idea

"Show that x + y = 0.19"? Write the sum of the whole row equal to 1, then take the known numbers across.

4. From One Count to the Total

الجدول فيه احتمالات، ويعطيك السؤال عددًا لفئة واحدة، فتستعمله لتجد العدد الكلي. أولًا أوجد الاحتمالات الناقصة كالعادة: اجمع المعروف واطرحه من الواحد، ثم اقسم الباقي حسب العلاقة بين المجهولين. ثم تذكّر أن الاحتمال مضروبًا في العدد الكلي يساوي العدد، فالعدد الكلي يساوي العدد المعطى مقسومًا على احتماله. أخيرًا اضرب احتمال الفئة المطلوبة في العدد الكلي. الخطأ الشائع: ضرب العدد المعطى في الاحتمال بدل القسمة عليه؛ العدد المعطى جزء من الكل، فلا بد أن يكون الكل أكبر منه.

The 4-mark twist: the table has probabilities, and one count is given. Use it to find how many there are in total.

Members chose their favourite book: comedy 0.2, romance 0.35, mystery $2 x$ , thriller $x$ . 36 members chose comedy. How many chose thriller?

Worked example

1
$0.2 + 0.35 = 0.55$ — Add the probabilities you know: comedy and romance.
2
$3 x = 1 - 0.55 = 0.45$ — Mystery 2x and thriller x make 3x. They share what is left of 1.
3
$x = 0.45 \div 3 = 0.15$ — Divide by 3. This is P(thriller).
4
$0.2 \times total = 36$ — The 36 comedy members are 0.2 of everyone, so probability times total gives 36.
5
$total = 36 \div 0.2 = 180$ — Divide both sides by 0.2 to find all the members.
6
$0.15 \times 180 = 27$ — Probability times total: 27 members chose thriller.

Formula

total = count \div P

Divide the count by its probability to get the total.

Common mistake

Working out $36 \times 0.2$ . The 36 is part of the total, so the total must be bigger: divide.

5. Counts Written with x

هنا أعداد الألوان في الكيس مكتوبة بدلالة مجهول، ومعك العدد الكلي واحتمال لون واحد. حوّل الاحتمال إلى معادلة: عدد هذا اللون على العدد الكلي يساوي الاحتمال المعطى. اضرب الطرفين في العدد الكلي ثم حلّ المعادلة لتجد المجهول. بعد ذلك عوّض بقيمة المجهول في كل تعبير لتعرف عدد كل لون، واطرح الألوان المعروفة من الكلي لتعرف الباقي، ثم اكتب الاحتمال المطلوب وبسّطه. الخطأ الشائع: التوقف عند قيمة المجهول، وهي ليست عدد أي لون مطلوب، فعوّض بها أولًا. وتحقق بأن مجموع الألوان كلها يساوي العدد الكلي.

Some questions write the counts in a bag with x, give the total, and give one probability. Turn the probability into an equation.

A bag has 60 counters. There are x + 5 red, 2x − 3 blue and x green. The rest are yellow. P(red) = $\frac{1}{4}$ . Find P(yellow).

Worked example

1
$\frac{x + 5}{60} = \frac{1}{4}$ — Red is x + 5 counters out of 60. Set that equal to the probability you are given.
2
$x + 5 = 60 \times \frac{1}{4} = 15$ — Multiply both sides by 60. A quarter of 60 is 15, so there are 15 red counters.
3
$x = 10$ — Take 5 from both sides.
4
$blue = 2 (10) - 3 = 17$ — Put x = 10 into blue's expression: 20 − 3 = 17.
5
$green = 10$ — Green is x counters, so 10.
6
$yellow = 60 - 15 - 17 - 10 = 18$ — The rest of the bag is yellow, so take the other colours from 60.
7
$P (yellow) = \frac{18}{60} = \frac{3}{10}$ — Yellow counters over the total, then divide the top and the bottom by 6.

Common mistake

Stopping at x = 10. x is not a count of any colour you were asked about. Put it back into each expression first.

Key idea

Check: 15 + 17 + 10 + 18 = 60, the whole bag.

6. Which Method? Read the Question

دليل لاختيار الطريقة: انظر أولًا إلى ما في الجدول، ثم إلى ما يطلبه السؤال. جدول أعداد: الخانة أو الصفوف المطلوبة على العدد الكلي. قطاع دائري: زاوية القطاع على ثلاثمئة وستين. احتمالات فيها مجهول: اجعل المجموع واحدًا وحلّ المعادلة. تقدير عدد المرات: الاحتمال في عدد المحاولات. إذا أُعطي عدد أيضًا: العدد مقسومًا على احتماله يعطي الكلي. أعداد بدلالة مجهول مع احتمال: العدد على الكلي يساوي الاحتمال ثم حلّ. وفي النهاية تحقق أن كل احتمال بين الصفر والواحد، وأن كل عدد عدد صحيح.

Look at what is inside the table, then at what the question wants.

You see	You do
A table of counts	cell or rows over the total
A pie chart	slice angle over 360
Probabilities with x	add to 1, solve for x
Estimate the number of times	probability × trials
A count is given too	count ÷ probability = total
Counts written with x, and a probability	count over total = probability, solve
Only the girls, given that	Conditional Probability
Experiment results	Relative Frequency and Expectation
Two facts about each person	Combined Events with Two-Way Tables

Key idea

Check at the end: every probability is between 0 and 1, and a count is a whole number.

تدرّب على الاحتمال من الجداول والرسوم البيانية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الاحتمال من الجداول والرسوم البيانية

1. What a Probability Table Shows

2. Reading a Frequency Table

3. Find x in a Probability Table

4. From One Count to the Total

5. Counts Written with x

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على الاحتمال من الجداول والرسوم البيانية

أسئلة امتحانات سابقة على الاحتمال من الجداول والرسوم البيانية، محلولة ومشروحة بالعربي