شرح نظرية فيثاغورس

Pythagoras' Theorem

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. The Longest Side Squared

نظرية فيثاغورس: في المثلث القائم، مربع أطول ضلع يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين. أطول ضلع هو الوتر المقابل للزاوية القائمة، والضلعان الآخران هما الأقصر. في المثال، قطر المستطيل يقابل الزاوية القائمة فهو الوتر: نربّع كل ضلع قصير، ثم نجمع المربعين، ثم نأخذ الجذر التربيعي لنلغي التربيع، ونقرّب لثلاثة أرقام معنوية مع الوحدة. الخطأ الشائع هو جمع الضلعين مباشرة؛ الترتيب الصحيح: ربّع، ثم اجمع، ثم خذ الجذر. ومن التاريخ: قبل فيثاغورس بأكثر من ألف عام، صنع كاتبٌ في بابل، في العراق اليوم، لوحًا طينيًا يسرد مجموعات أعداد لمثلثات قائمة.

In a right-angled triangle, the square on the longest side equals the two other squares added together.

Formula

a^{2} + b^{2} = c^{2}

$c$ is the hypotenuse, across from the right angle. $a$ and $b$ are the two shorter sides.

Worked example

1
$d^{2} = 9. 2^{2} + 6. 5^{2}$ — The diagonal of a rectangle is across from the right angle, so it is the longest side. Square the two shorter sides and add.
2
$d^{2} = 84.64 + 42.25$ — Square each side: 9.2 × 9.2 = 84.64 and 6.5 × 6.5 = 42.25.
3
$d^{2} = 126.89$ — Add the two squares.
4
$d = 126.89 = 11.26 \dots$ — We have d squared, so take the square root to undo the squaring.
5
$d = 11.3 cm$ — Round to 3 significant figures and add the unit.

Common mistake

Adding the sides: $9.2 + 6.5 = 15.7$ . Square them first, then add, then square root.

Key idea

About 1800 BC, long before Pythagoras, a scribe in Babylonia (today's Iraq) made a clay tablet now called Plimpton 322. It lists 15 rows of right-triangle number sets, including $1270 9^{2} + 1350 0^{2} = 1854 1^{2}$ .

2. Finding a Shorter Side

قد يعطيك السؤال الوتر ويطلب أحد الضلعين الأقصر، وعندها نطرح بدل أن نجمع. من النظرية: مربع الضلع القصير يساوي مربع الوتر ناقص مربع الضلع القصير الآخر. نربّع الوتر ونربّع الضلع المعلوم، ثم نطرح، ثم نأخذ الجذر التربيعي ونقرّب لثلاثة أرقام معنوية، ونتحقق أن الناتج أقصر من الوتر. الخطأ الشائع هو جمع المربعين، فيخرج ضلع أطول من الوتر وهذا مستحيل. اكتب سطر نظرية فيثاغورس أولًا قبل الأعداد، فالسطر الصحيح يكسبك درجة الطريقة حتى لو أخطأت في الحساب بعده.

The 3-mark question can give the hypotenuse and ask for a shorter side. Then you subtract. The hypotenuse is 15.4 cm and one side is 8.1 cm.

Worked example

1
$x^{2} = 15. 4^{2} - 8. 1^{2}$ — 15.4 is the hypotenuse. From $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , take $b^{2}$ from both sides, so a shorter side squared is $c^{2}$ minus the other short side squared.
2
$x^{2} = 237.16 - 65.61$ — Square each side: 15.4 × 15.4 = 237.16 and 8.1 × 8.1 = 65.61.
3
$x^{2} = 171.55$ — Subtract the two squares.
4
$x = 171.55 = 13.098 \dots$ — We have x squared, so take the square root.
5
$x = 13.1 cm$ — Round to 3 significant figures. It is shorter than 15.4, as a shorter side should be.

Common mistake

Adding the squares and getting 17.4 cm. That is longer than the hypotenuse, which is impossible.

Key idea

Write the Pythagoras line first, before any numbers. A correct line earns a method mark even if the arithmetic slips later.

3. Isosceles Triangles: Split Down the Middle

سؤال بأربع أو خمس درجات عن مثلث متساوي الساقين. الخط من الرأس إلى منتصف القاعدة هو الارتفاع، ويقسم المثلث إلى مثلثين قائمين. في المثال نبدأ بالمساحة: مساحة المثلث نصف القاعدة في الارتفاع، ومنها نجد الارتفاع بقسمة الطرفين. ثم نلاحظ أن قاعدة كل مثلث قائم هي نصف القاعدة الأصلية. الساق تقابل الزاوية القائمة فهي الوتر، فنطبّق نظرية فيثاغورس: نربّع نصف القاعدة والارتفاع ونجمع ثم نأخذ الجذر التربيعي. أخيرًا المحيط هو القاعدة مضافًا إليها الساقان المتساويتان، ونقرّب لثلاثة أرقام معنوية. الخطأ الشائع هو استخدام القاعدة كاملة في نظرية فيثاغورس بدل نصفها.

The 4 or 5-mark question: an isosceles triangle. The line from the top to the middle of the base is the height, and it makes two right-angled triangles.

The base is 16 cm, the two equal sides are unknown and the area is $72 cm^{2}$ . Find the perimeter.

Worked example

1
$\frac{1}{2} \times 16 \times h = 72$ — Area of a triangle is half the base times the height. The base is 16 and the area is 72, so h is the only unknown.
2
$8 h = 72$ — Half of 16 is 8.
3
$h = 9$ — Divide both sides by 8 to leave h alone.
4
$half the base = 16 \div 2 = 8$ — The height cuts the base in half and makes two right-angled triangles. Each one has a base of 8, not 16.
5
$x^{2} = 8^{2} + 9^{2}$ — x is an equal side, across from the right angle, so it is the hypotenuse. Square the two shorter sides and add.
6
$x^{2} = 64 + 81$ — Square each side: 8 × 8 = 64 and 9 × 9 = 81.
7
$x^{2} = 145$ — Add the two squares.
8
$x = 145 = 12.04 \dots$ — Take the square root. This is the length of one equal side.
9
$16 + 2 \times 12.04 \dots$ — The perimeter is the base plus the two equal sides.
10
$perimeter = 40.1 cm$ — Round to 3 significant figures and add the unit.

Common mistake

Using the whole base, 16, in Pythagoras. The right angle is in the middle, so each half has base 8.

4. Two Triangles: Find the Shared Side First

سؤال بخمس أو ست درجات فيه مثلثان قائمان متصلان بضلع مشترك. احسب الضلع المشترك من المثلث الأول، ثم استخدمه في الثاني. في المثلث الأول الضلع المشترك هو الوتر، فنربّع الضلعين ونجمعهما لنحصل على مربعه، ونحتفظ بالمربع كما هو دون أخذ الجذر. في المثلث الثاني الضلع المشترك أحد الضلعين القصيرين، ونحن نحتاج مربعه أصلًا، فنضيفه مباشرة إلى مربع الضلع الآخر، ثم نأخذ الجذر التربيعي للوتر المطلوب ونقرّب لثلاثة أرقام معنوية. الخطأ الشائع هو تقريب الضلع المشترك مبكرًا فيضيع الجواب الدقيق والدرجة؛ احتفظ بالقيمة الدقيقة.

The 5 or 6-mark question has two right-angled triangles joined along one side. Work out the shared side in the first, then use it in the second.

Triangle $A B C$ has a right angle at $B$ , with $A B = 12$ and $B C = 7$ . Triangle $A C D$ has a right angle at $C$ , with $C D = 10$ . Find $A D$ .

Worked example

1
$A C^{2} = 1 2^{2} + 7^{2}$ — The right angle of triangle ABC is at B, so AC is its hypotenuse. AC is also the side the two triangles share.
2
$A C^{2} = 144 + 49$ — Square each side: 12 × 12 = 144 and 7 × 7 = 49.
3
$A C^{2} = 193$ — Add the two squares. Keep 193, do not take the square root yet.
4
$A D^{2} = A C^{2} + 1 0^{2}$ — The right angle of triangle ACD is at C, so AD is its hypotenuse. Its shorter sides are AC and CD = 10.
5
$A D^{2} = 193 + 100$ — Put in the exact $A C^{2} = 193$ and square 10 to get 100. We need $A C^{2}$ , not AC, so no square root is needed here.
6
$A D^{2} = 293$ — Add the two numbers.
7
$A D = 293 = 17.117 \dots$ — Take the square root to undo the squaring.
8
$A D = 17.1 cm$ — Round to 3 significant figures and add the unit.

Common mistake

Rounding $A C$ to 14 first. Then $296 = 17.2$ , which loses the mark. Keep the exact value.

5. Perimeters and Costs

سؤال بأربع درجات: إطار أو شكل مكوّن من مثلثات قائمة. أوجد الحافة الناقصة، ثم اجمع كل الحواف، ثم أجب عن الجزء المتعلق بالمال. في المثال الضلعان المعلومان يلتقيان عند الزاوية القائمة، فالحافة الناقصة هي الوتر، ونجدها بنظرية فيثاغورس: نربّع ونجمع ونأخذ الجذر. ثم نجمع الحواف الثلاث لنعرف طول الفولاذ المطلوب. الفولاذ يُباع بالمتر الكامل، فنقرّب الطول إلى أعلى، لأن التقريب إلى أسفل يجعل الكمية غير كافية، ثم نضرب عدد الأمتار في سعر المتر. الخطأ الشائع هو ضرب الطول غير المقرّب في السعر، مع أنك لا تستطيع شراء جزء من متر.

The 4-mark question: a frame or a shape made of right-angled triangles. Find the missing edge, add up all the edges, then answer the money part.

A triangular frame has sides of 3.6 metres and 2.7 metres at the right angle. Steel costs $15 per metre and is sold in whole metres.

Worked example

1
$c^{2} = 3. 6^{2} + 2. 7^{2}$ — The sides 3.6 and 2.7 meet at the right angle, so the missing edge c is the hypotenuse.
2
$c^{2} = 12.96 + 7.29$ — Square each side: 3.6 × 3.6 = 12.96 and 2.7 × 2.7 = 7.29.
3
$c^{2} = 20.25$ — Add the two squares.
4
$c = 20.25 = 4.5 m$ — Take the square root to undo the squaring.
5
$3.6 + 2.7 + 4.5 = 10.8 m$ — The frame has three edges, so add them all to get the length of steel needed.
6
$buy 11 m$ — Steel is sold in whole metres. 10.8 is not a whole number, so round up to 11. Rounding down would leave you short.
7
$11 \times 15 = $165$ — Each metre costs 15 dollars, so multiply the 11 metres by 15.

Common mistake

Working out $10.8 \times 15 = $162$ . You cannot buy 10.8 metres, so you must buy 11.

6. Is It a Right Angle? The Converse

بعض الأسئلة تعطيك أطوال الأضلاع الثلاثة وتسأل: هل المثلث قائم الزاوية؟ هنا نستخدم عكس نظرية فيثاغورس. ربّع الضلعين الأقصرين واجمعهما، ثم ربّع أطول ضلع وحده. إذا تساوى الناتجان فالمثلث قائم، والزاوية القائمة تقابل أطول ضلع؛ وإذا اختلفا فليس قائمًا. في المثال الأول يتساوى الناتجان، وفي الثاني يختلفان، وفي الحالتين نكتب الاستنتاج صراحة. الخطأ الشائع هو اختبار ضلع غير الأطول على أنه الوتر؛ ربّع دائمًا أطول ضلع وحده.

Some questions give three sides and ask whether the triangle has a right angle. Pythagoras works backwards: if the numbers fit, the angle is 90°.

Rule

Square the two shorter sides and add them. Square the longest side. If the two answers are equal, the triangle is right-angled. If they are different, it is not.

Worked example

1
$sides 9, 12, 15 : test 15$ — The longest side must be the hypotenuse, so test with 15. The other two, 9 and 12, are the shorter sides.
2
$9^{2} + 1 2^{2} = 225$ — Square 9 to get 81 and 12 to get 144, then add.
3
$1 5^{2} = 225$ — Now square the longest side.
4
$9^{2} + 1 2^{2} = 1 5^{2}$ — The two answers are equal, so the sides fit Pythagoras.
5
$right-angled$ — Write this conclusion. The angle opposite the 15 is 90°.

Now a triangle that fails the test. The sides are 6, 7 and 10.

Worked example

1
$6^{2} + 7^{2} = 36 + 49 = 85$ — Square the two shorter sides and add.
2
$1 0^{2} = 100$ — Square the longest side.
3
$85 \neq = 100$ — The answers are different, so the sides do not fit Pythagoras.
4
$not right-angled$ — Write this conclusion. The longest side is longer than a right angle would give.

Common mistake

Testing with the wrong side as the hypotenuse. Always square the longest side by itself and add the other two. Otherwise the answers will never match.

7. Exact Answers, Surds (Extended/Higher)

هذا للمستوى الممتد. إذا طلب السؤال إجابة في صورة جذر أصم، أو قال «أثبت أن» الارتفاع جذرٌ معيّن، فاترك الجذر دون حسابه عشريًا وبسّطه. القاعدة: جذر حاصل ضرب عددين موجبين يساوي حاصل ضرب جذريهما، فنختار أكبر عدد مربع يقسم العدد تحت الجذر. في المثال، ارتفاع المثلث المتساوي الأضلاع ينصّف القاعدة ويصنع مثلثًا قائمًا وتره ضلع المثلث، فنطرح مربع نصف القاعدة من مربع الوتر لنحصل على مربع الارتفاع. نأخذ الجذر ونتركه جذرًا، ثم نفصل منه أكبر مربع ونُخرج جذره خارج الجذر، ونتوقف عندما لا يمكن التبسيط أكثر. الخطأ الشائع هو كتابة جواب عشري عندما يُطلب جذر أصم، فتضيع الدرجة الأخيرة. ولتبسيط الجذور درس خاص بها.

Some questions say “give your answer as a surd” or “show that the height is 5√3”. Then leave the square root unevaluated and simplify it. An equilateral triangle has side 10 cm. Find its height as a surd.

Formula

a \times b = a \times b

Here a and b are positive numbers. Pick a to be the biggest square number that divides the number under the root.

Worked example

1
$half the base = 10 \div 2 = 5$ — The height of an equilateral triangle cuts the base in half and makes a right-angled triangle. The sloping side, 10, is the hypotenuse.
2
$h^{2} = 1 0^{2} - 5^{2}$ — h is a shorter side, so take the square of the other short side away from the square of the hypotenuse.
3
$h^{2} = 100 - 25$ — Square each side: 10 × 10 = 100 and 5 × 5 = 25.
4
$h^{2} = 75$ — Subtract.
5
$h = 75$ — Take the square root. Leave it as a root, because the question asks for a surd.
6
$75 = 25 \times 3$ — Find the biggest square number that divides 75. It is 25, because 25 × 3 = 75.
7
$25 \times 3 = 25 \times 3$ — Split the root into two roots using the formula above.
8
$h = 53 cm$ — $25 = 5$ . $3$ cannot be simplified, so stop. Check: 5 × 1.732… = 8.66…, the same as $75$ .

Common mistake

Writing 8.66 when the question asks for a surd. A decimal is not an exact answer, so it loses the final mark.

Key idea

Simplifying surds has its own lesson: see Surds.

8. Which Method? Read the Question

نظرية فيثاغورس تحتاج زاوية قائمة وضلعين معلومين. لإيجاد أطول ضلع: ربّع، ثم اجمع، ثم خذ الجذر. لإيجاد ضلع أقصر: ربّع، ثم اطرح، ثم خذ الجذر. في المثلث المتساوي الساقين: قسّمه إلى نصفين واستخدم نصف القاعدة والارتفاع. لمعرفة هل المثلث قائم: ربّع الضلعين الأقصرين واجمعهما وقارن بمربع أطول ضلع. للإجابة الدقيقة في المستوى الممتد: اترك الجذر وأخرج منه أكبر عدد مربع. وإذا كانت هناك زاوية معطاة أو مطلوبة فانتقل إلى النسب المثلثية. قبل أن تنتهي تحقق أن الوتر هو أطول ضلع.

Pythagoras needs a right angle and two known sides.

You see	You do
Find the longest side	square, add, square root
Find a shorter side	square, subtract, square root
Isosceles triangle	split it: half the base and the height
Is it a right-angled triangle?	square the shorter two and add; compare with the longest squared
Exact answer or surd (Extended/Higher)	leave the root, take out the biggest square number
An angle is given or wanted	Choosing the Right Trigonometric Ratio
A shape needing a side and an angle	Using Trigonometry and Pythagoras Together

Key idea

Check before you finish: the hypotenuse must be the longest side.

تدرّب على نظرية فيثاغورس

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح نظرية فيثاغورس

1. The Longest Side Squared

2. Finding a Shorter Side

3. Isosceles Triangles: Split Down the Middle

4. Two Triangles: Find the Shared Side First

5. Perimeters and Costs

6. Is It a Right Angle? The Converse

7. Exact Answers, Surds (Extended/Higher)

8. Which Method? Read the Question

تدرّب على نظرية فيثاغورس

أسئلة امتحانات سابقة على نظرية فيثاغورس، محلولة ومشروحة بالعربي