شرح نسبة جيب التمام

The Cosine Ratio

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Cosine Uses the Side Next to the Angle

جيب التمام يقارن الضلع المجاور، أي الضلع الذي يلمس الزاوية، بالوتر: جيب تمام الزاوية يساوي المجاور مقسومًا على الوتر. كلما اتسعت الزاوية قصر الضلع المجاور، فيصغر جيب التمام: عند الزاوية الصفرية يساوي واحدًا، وعند الزاوية القائمة يساوي صفرًا. تذكّر: زاوية أكبر تعني جيب تمام أصغر، وهذا عكس الجيب والظل اللذين يكبران مع الزاوية.

Cosine compares the adjacent side, the one touching the angle, with the hypotenuse.

Formula

cos x = \frac{adjacent}{hypotenuse}

As the angle opens up, the adjacent side gets shorter, so cos gets smaller.

Angle	cos
$0^{\circ}$	1
$5 0^{\circ}$	0.643
$9 0^{\circ}$	0

Key idea

Bigger angle, smaller cos. That is the opposite of sin and tan.

2. Find the Adjacent: Multiply

سؤال بدرجتين: تعرف الوتر والزاوية وتريد الضلع الذي يلمس الزاوية. هذا الضلع هو المجاور، والمجاور مع الوتر يعني جيب التمام. المجهول مقسوم على الوتر، فنضرب الطرفين في الوتر ليبقى المجهول وحده، ثم نحسب بالآلة الحاسبة على وضع الدرجات، ونقرّب لثلاثة أرقام معنوية مع كتابة الوحدة، ونتحقق أن الناتج أقصر من الوتر. الخطأ الشائع هو استخدام الجيب، فيعطيك الضلع المقابل للزاوية لا الضلع الذي يلمسها. وإذا طلب السؤال «أثبت أن» فاكتب الناتج قبل التقريب أولًا ثم بعده، لأن السطر غير المقرّب هو الذي يثبت أنك حسبته.

The 2-mark question: you know the hypotenuse and the angle, and want the side next to the angle. The hypotenuse is 9 cm and the angle is $3 2^{\circ}$ .

Worked example

1
$cos 3 2^{\circ} = \frac{x}{9}$ — x touches the 32° angle, so it is the adjacent. The 9 cm side is the longest, the hypotenuse. Adjacent and hypotenuse mean cos.
2
$x = 9 \times cos 3 2^{\circ}$ — x is divided by 9, so multiply both sides by 9 to leave x alone.
3
$x = 7.632 \dots$ — Type 9 × cos 32 into the calculator, set to degrees.
4
$x = 7.63 cm$ — Round to 3 significant figures and add the unit. It is shorter than the 9 cm hypotenuse, as it should be.

Common mistake

Using sin: $9 \times sin 3 2^{\circ} = 4.77$ . That is the side across from the angle, not the one touching it.

Key idea

Some questions say “show that x = 7.63 cm”. Write the unrounded line x = 7.632… first, then the rounded 7.63. The unrounded line is what proves you worked it out. Keep your calculator in degree mode.

3. Find the Hypotenuse: Divide

سؤال بثلاث درجات: تعرف الضلع المجاور والزاوية وتريد الوتر. المجاور مع الوتر يعني جيب التمام، لكن المجهول هنا في مقام الكسر. أولًا نضرب الطرفين في المجهول لنرفعه من المقام، ثم نقسم الطرفين على جيب تمام الزاوية ليبقى المجهول وحده. نحسب بالآلة الحاسبة ونقرّب لثلاثة أرقام معنوية، ونتحقق أن الناتج أطول من المجاور لأن الوتر أطول ضلع. الخطأ الشائع هو الضرب بدل القسمة، فيخرج ناتج أقصر من المجاور، وهذا مستحيل للوتر.

The 3-mark question: you know the adjacent side and want the hypotenuse. The adjacent side is 8.5 cm and the angle is $4 1^{\circ}$ .

Worked example

1
$cos 4 1^{\circ} = \frac{8.5}{x}$ — The 8.5 cm side touches the 41° angle, so it is the adjacent. x is the hypotenuse. Adjacent and hypotenuse mean cos.
2
$x \times cos 4 1^{\circ} = 8.5$ — x is on the bottom of the fraction. Multiply both sides by x to bring it up.
3
$x = \frac{8.5}{c o s 4 1 ^{\circ}}$ — x is now multiplied by cos 41°. Divide both sides by cos 41° to leave x alone.
4
$x = 11.26 \dots$ — Type 8.5 ÷ cos 41 into the calculator.
5
$x = 11.3 cm$ — Round to 3 significant figures. It is longer than 8.5 cm, as a hypotenuse must be.

Common mistake

Multiplying: $8.5 \times cos 4 1^{\circ} = 6.42$ . That is shorter than 8.5, but the hypotenuse must be the longest side.

4. Find the Angle: Inverse Cosine

قد يعطيك السؤال ضلعين ويطلب الزاوية. الضلع الذي يلمس الزاوية هو المجاور، والأطول هو الوتر، والمجاور مع الوتر يعني جيب التمام. نقسم المجاور على الوتر، والناتج يجب أن يكون أقل من واحد كما هو الحال دائمًا لجيب التمام. ثم نستخدم معكوس جيب التمام لأنه يلغي جيب التمام ويعطينا الزاوية، ونقرّب لمنزلة عشرية واحدة وهي الدقة المعتادة للزوايا. الخطأ الشائع هو الضغط على معكوس الجيب؛ تأكد من الأضلاع التي لديك قبل أن تختار.

The 3-mark question can also give two sides and ask for the angle. The adjacent side is 6.4 cm and the hypotenuse is 10 cm.

Worked example

1
$cos x = \frac{6.4}{10}$ — The 6.4 cm side touches the angle, so it is the adjacent. The 10 cm side is the hypotenuse. Adjacent and hypotenuse mean cos.
2
$cos x = 0.64$ — Divide 6.4 by 10. The answer is below 1, as a cosine must be.
3
$x = cos^{- 1} (0.64)$ — We know the cosine and want the angle. Inverse cosine, $cos^{- 1}$ , undoes cos.
4
$x = 50.21 \dots$ — Type the $cos^{- 1}$ of 0.64 into the calculator.
5
$x = 50. 2^{\circ}$ — Round to 1 decimal place, the usual accuracy for angles, and add the degree sign.

Common mistake

Pressing inverse sine and getting $39. 8^{\circ}$ . Check which sides you have: the 6.4 cm side touches the angle, so it is cos.

5. Which Method? Read the Question

ابحث عن الوتر والضلع الذي يلمس الزاوية. إذا أُعطيت الوتر والزاوية وطُلب الضلع المجاور فاضرب في جيب التمام. إذا أُعطيت المجاور والزاوية وطُلب الوتر فاقسم على جيب التمام. إذا أُعطيت المجاور والوتر وطُلبت الزاوية فاستخدم معكوس جيب التمام. أما إذا كان الضلع مقابلًا للزاوية فانتقل إلى نسبة الجيب، وإذا لم يكن الوتر موجودًا أصلًا فانتقل إلى نسبة الظل. الجيب وجيب التمام كلاهما يستخدم الوتر، والضلع الآخر هو الذي يحسم: إن كان يلمس الزاوية فهو جيب التمام، وإن كان مقابلًا لها فهو الجيب.

Look for the hypotenuse and the side that touches the angle.

You see	You do
Hypotenuse and angle, find the side touching it	multiply by cos
Adjacent and angle, find the hypotenuse	divide by cos
Adjacent and hypotenuse, find the angle	inverse cosine
Side across from the angle	The Sine Ratio
No hypotenuse at all	The Tangent Ratio

Key idea

Cos and sin both use the hypotenuse. The other side decides: touching the angle is cos, across from it is sin.

تدرّب على نسبة جيب التمام

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح نسبة جيب التمام

1. Cosine Uses the Side Next to the Angle

2. Find the Adjacent: Multiply

3. Find the Hypotenuse: Divide

4. Find the Angle: Inverse Cosine

5. Which Method? Read the Question

تدرّب على نسبة جيب التمام

أسئلة امتحانات سابقة على نسبة جيب التمام، محلولة ومشروحة بالعربي