شرح التعويض

Substitution

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1 · IGCSE Additional Maths 0606

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What Substitution Means

القانون قاعدة مكتوبة بالحروف. التعويض يعني أن تضع مكان كل حرف العدد الذي يساويه، ثم تحسب. وتذكّر أن العدد الملاصق لحرف يعني الضرب. اكتب دائمًا السطر الذي فيه الأعداد بعد التعويض، فهو يُظهر طريقتك ويأخذ درجة حتى لو أخطأت بعده في الحساب.

A formula is a rule written with letters. Substitute means swap each letter for its number, then work it out.

Rule

A number next to a letter means multiply: $5 p$ is $5 \times p$ .

Example

$T = 5 p - 2 d$ with $p = 7$ and $d = 4$ : $T = 5 \times 7 - 2 \times 4 = 35 - 8 = 27$ .

Key idea

Always write the line with the numbers in it. It shows your method, even if you slip later.

2. Substitute, Then Follow the Order

بعد أن تعوّض بالأعداد، احسب بهذا الترتيب: الأقواس أولًا، ثم القوى، ثم الضرب والقسمة، ثم الجمع والطرح. اكتب سطر التعويض لأن عليه درجة. ثم احسب القوة وحدها، فهي تخصّ العدد الذي فوقه الأُسّ فقط وليس المعامل الذي قبله، ثم اضرب، ثم اجمع في النهاية. الخطأ الشائع: ضرب المعامل في العدد أولًا ثم التربيع، وهذا خطأ لأن القوة تخصّ العدد وحده.

After you swap in the numbers, work it out in this order: brackets first, then powers, then multiply and divide, then add and subtract.

Worked example

1
$P = 3 a^{2} + 2 b$ — The formula. We are told a = 4 and b = 5.
2
$P = 3 \times 4^{2} + 2 \times 5$ — Swap each letter for its number. Write this line: it earns a mark for working.
3
$P = 3 \times 16 + 2 \times 5$ — Powers first, so square only the 4: $4^{2} = 16$ . The 3 is not squared.
4
$P = 48 + 10$ — Multiply next: $3 \times 16 = 48$ and $2 \times 5 = 10$ .
5
$P = 58$ — Add last: $48 + 10 = 58$ .

Common mistake

Working out $3 \times 4 = 12$ first and then squaring. The power belongs to the 4 only.

3. Negative Numbers: Use Brackets

هنا يخسر الطلاب أكثر الدرجات. عندما يكون العدد سالبًا، ضعه داخل قوس قبل أيّ شيء، فالقوس يحفظ الإشارة السالبة مع العدد. ثم اتّبع الترتيب: القوى أولًا، وتذكّر أن سالبًا في سالب يعطي موجبًا، ثم الضرب، ثم الجمع. قاعدة مهمة: العدد السالب مرفوعًا لقوة زوجية يكون موجبًا، ولقوة فردية يبقى سالبًا. الخطأ الشائع: تربيع العدد دون قوس فتبقى الإشارة سالبة، والصحيح أن القوس يجعل التربيع للعدد السالب كله.

Most marks are lost here. When the number is negative, put it in a bracket before you do anything.

Worked example

1
$Q = 2 u^{2} - 5 u$ — The formula. We are told u = −3.
2
$Q = 2 (- 3)^{2} - 5 (- 3)$ — Swap u for (−3). The bracket keeps the minus sign with the 3.
3
$Q = 2 \times 9 - 5 \times (- 3)$ — Powers first: $(- 3)^{2} = (- 3) \times (- 3) = 9$ . Two negatives multiply to a positive.
4
$Q = 18 - 5 \times (- 3)$ — Multiply: $2 \times 9 = 18$ .
5
$Q = 18 + 15$ — Multiply: $- 5 \times (- 3) = + 15$ . Minus times minus is plus.
6
$Q = 33$ — Add: $18 + 15 = 33$ .

Rule

Powers of a negative: an even power is positive, $(- 2)^{2} = 4$ and $(- 2)^{4} = 16$ . An odd power is negative, $(- 2)^{3} = - 8$ .

Common mistake

Writing $- 3^{2} = - 9$ . The bracket squares the whole −3: $(- 3)^{2} = 9$ .

4. Brackets, Fractions and Roots

خط الكسر والقوس وعلامة الجذر التربيعي كلها تجمع الأعداد معًا، فاحسب ما بداخلها أولًا. في الكسر عامل البسط كأنه داخل قوس، والمقام كذلك: أنهِ البسط، ثم أنهِ المقام، ثم اقسم في النهاية. ضع العدد السالب داخل قوس، وتذكّر أن تربيعه يعطي موجبًا. وتحت الجذر احسب كل ما بداخله أولًا ثم خذ الجذر آخر خطوة. الخطأ الشائع: تربيع حاصل الضرب كله بدل تربيع المجهول وحده، فالأُسّ يخصّ الحرف الذي فوقه فقط.

A fraction line, a bracket and a square root sign each group numbers together. Work out everything inside them first.

Worked example

1
$M = \frac{5 a - 3}{b ^{2}}$ — The formula, with a = 3 and b = −2. The fraction line works like a bracket round the top and round the bottom.
2
$M = \frac{5 \times 3 - 3}{( - 2 ) ^{2}}$ — Swap in the numbers. The −2 goes in a bracket.
3
$M = \frac{15 - 3}{( - 2 ) ^{2}}$ — Top first. Multiply: $5 \times 3 = 15$ .
4
$M = \frac{12}{( - 2 ) ^{2}}$ — Finish the top: $15 - 3 = 12$ .
5
$M = \frac{12}{4}$ — Now the bottom: $(- 2)^{2} = 4$ . Squaring a negative gives a positive.
6
$M = 3$ — Divide last: $12 \div 4 = 3$ . Top and bottom had to be finished before this.

A square root covers everything under its sign. Finish the inside before you take the root.

Worked example

1
$d = h^{2} + 2 k$ — The formula, with h = 4 and k = 10.
2
$d = 4^{2} + 2 \times 10$ — Swap in the numbers.
3
$d = 16 + 20$ — Under the root, powers and multiplying first: $4^{2} = 16$ and $2 \times 10 = 20$ .
4
$d = 36$ — Add under the root: $16 + 20 = 36$ .
5
$d = 6$ — Take the square root last, because $6 \times 6 = 36$ .

Common mistake

In $s = \frac{1}{2} a t^{2}$ only t is squared. With a = 6 and t = 4: $\frac{1}{2} \times 6 \times 16 = 48$ . Squaring $\frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$ gives 144, which is wrong.

5. Formulas from Real Life

كثير من الأسئلة تعطيك القاعدة بالكلمات: تكلفة، أو مدة طهي، أو رحلة. حوّل الكلمات إلى قانون أولًا، فمثلًا التكلفة تساوي مبلغًا ثابتًا مضافًا إليه مبلغ عن كل يوم مضروبًا في عدد الأيام. ثم عوّض بالعدد المعطى، واضرب قبل أن تجمع. وفي النهاية اكتب الإجابة بالوحدة التي يستخدمها السؤال، مثل الدولار أو الدقائق أو الكيلوغرام.

Many questions give a rule in words: a cost, a cooking time, a journey. Write the rule, then substitute.

A van costs $40 to hire, plus $25 for each day. Find the cost for 6 days.

Worked example

1
$C = 40 + 25 d$ — Write the rule as a formula. C is the cost in dollars and d is the number of days.
2
$C = 40 + 25 \times 6$ — d is 6, because the van is hired for 6 days.
3
$C = 40 + 150$ — Multiply before you add: $25 \times 6 = 150$ .
4
$C = 190$ — Add: $40 + 150 = 190$ . The cost is $190.

Key idea

Finish with the unit the question uses: dollars, minutes, kilograms.

6. Working Backwards

بعض الأسئلة تعطيك الناتج وتطلب قيمة حرف. عوّض بكل ما تعرفه، فيبقى حرف واحد مجهول، ثم حلّ المعادلة: انقل الأعداد إلى الطرف الآخر ثم اقسم. انتبه أن تضع كل عدد مكان حرفه الصحيح. وإذا أعطاك السؤال حرفًا ثانيًا قيمته سالبة، فضعه داخل قوس، وتذكّر أن سالبًا في سالب يعطي موجبًا. وفي النهاية عوّض بإجابتك في القانون لتتحقق.

Some questions give the answer and ask for a letter. Substitute everything you know, then solve the equation.

Worked example

1
$C = 40 + 25 d$ — The same formula. This time the cost is given, C = 265, and we want d.
2
$265 = 40 + 25 d$ — Put 265 in for C. Now d is the only letter left.
3
$225 = 25 d$ — Take 40 from both sides: $265 - 40 = 225$ . This leaves the d term alone.
4
$d = 9$ — Divide both sides by 25: $225 \div 25 = 9$ . The van was hired for 9 days.

Common mistake

Putting 265 in for d. Check which letter the number belongs to before you swap it in.

Exams often give a second letter too, and it is often negative. Put in both numbers before you solve.

Worked example

1
$R = 3 m - 2 k$ — The formula. We know R = 23 and k = −4, and we want m.
2
$23 = 3 m - 2 \times (- 4)$ — Put in both known numbers. The −4 goes in a bracket.
3
$23 = 3 m + 8$ — $- 2 \times (- 4) = + 8$ . Minus times minus is plus.
4
$15 = 3 m$ — Take 8 from both sides: $23 - 8 = 15$ .
5
$m = 5$ — Divide both sides by 3. Check: $3 \times 5 - 2 \times (- 4) = 15 + 8 = 23$ .

7. Solving for a Square (Extended/Higher)

أحيانًا يكون الحرف المطلوب مربّعًا. عوّض بالقيم المعروفة، ثم اضرب الأعداد، ثم اقسم حتى يبقى المربّع وحده، وبعدها فقط خذ الجذر التربيعي. للجذر قيمتان موجبة وسالبة، لكن إذا كان المطلوب سرعة أو طولًا فاحتفظ بالموجبة فقط. ثم عوّض لتتحقق. الخطأ الشائع: أخذ الجذر مبكرًا قبل أن يصبح المربّع وحده.

Sometimes the letter you want is squared. Get the square on its own, then take the square root.

Worked example

1
$E = \frac{1}{2} m v^{2}$ — The energy of a moving object. We know E = 100 and m = 8, and we want the speed v.
2
$100 = \frac{1}{2} \times 8 \times v^{2}$ — Put in both known numbers.
3
$100 = 4 v^{2}$ — Multiply the numbers: $\frac{1}{2} \times 8 = 4$ .
4
$25 = v^{2}$ — Divide both sides by 4 so that v² is on its own: $100 \div 4 = 25$ .
5
$v = \pm 5$ — Square root both sides. Both $5^{2}$ and $(- 5)^{2}$ make 25, so v is 5 or −5.
6
$v = 5$ — Keep the positive value: a speed cannot be negative. Check: $\frac{1}{2} \times 8 \times 25 = 100$ .

Common mistake

Taking the square root too early: $100 = 10$ is wrong here. Get $v^{2}$ on its own first.

8. Which Method? Read the Question

انظر ماذا أُعطيت وماذا يُطلب منك. أعداد موجبة: عوّض ثم القوى ثم الضرب ثم الجمع. عدد سالب: ضعه داخل قوس أولًا. قوس أو كسر أو جذر: احسب ما بداخله أولًا. قاعدة بالكلمات: اكتب القانون ثم عوّض. الناتج معطى: عوّض ثم حلّ المعادلة لإيجاد الحرف. الحرف المطلوب مربّع: اجعله وحده، ثم خذ الجذر واحتفظ بالموجب. هذه الأسئلة عادة عليها درجتان، وإحداهما على سطر التعويض بالأعداد، فاكتبه دائمًا.

Look at what you are given and what you are asked for.

You see	You do
Positive numbers	Swap them in, then powers, multiply, add
A negative number	Put it in a bracket first
A bracket, fraction line or root	Work out inside it first
A rule in words	Write the formula, then substitute
The answer is given	Substitute, then solve for the letter
The letter you want is squared	Get it alone, square root, keep the positive

Key idea

These are usually 2 marks. One mark is for the line with the numbers swapped in.

تدرّب على التعويض

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح التعويض

1. What Substitution Means

2. Substitute, Then Follow the Order

3. Negative Numbers: Use Brackets

4. Brackets, Fractions and Roots

5. Formulas from Real Life

6. Working Backwards

7. Solving for a Square (Extended/Higher)

8. Which Method? Read the Question

تدرّب على التعويض

أسئلة امتحانات سابقة على التعويض، محلولة ومشروحة بالعربي