شرح الانعكاس

Reflection

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Reflection Does

الانعكاس يقلب الشكل حول خط المرآة، فتكون الصورة بالحجم نفسه لكنها تواجه الجهة الأخرى. القاعدة: خذ كل رأس إلى خط المرآة مباشرة وبشكل عمودي عليه، ثم امشِ المسافة نفسها مرة أخرى في الجهة الثانية. النقطة الواقعة على خط المرآة لا تتحرك، فارسم خط المرآة على الشبكة قبل أن تبدأ. مثال من الحياة: كلمة «إسعاف» تُكتب مقلوبة على مقدمة كثير من سيارات الإسعاف، فيراها السائق الذي أمامها في المرآة صحيحة.

A reflection flips a shape over a mirror line. The image is the same size, but it faces the other way.

Rule

Take each corner straight across to the mirror line, at right angles. Then go the same distance again on the other side.

Key idea

A point on the mirror line does not move. Draw the mirror line on the grid before you start.

Key idea

On the front of many ambulances, the word AMBULANCE is written backwards. A driver ahead sees it in the rear-view mirror, the mirror reflects it, and it reads the right way round.

2. Reflecting in y = x

أشهر سؤال في الانعكاس: اعكس الشكل في المستقيم الذي يتساوى عليه الإحداثيان، وهو الخط المائل المار بنقطة الأصل. الطريقة سهلة: لكل رأس بدّل الإحداثيين، فيصير السيني صاديًا والصادي سينيًا. النقطة التي يتساوى إحداثياها تقع على الخط أصلًا فلا تتحرك. للتحقق: منتصف المسافة بين الرأس وصورته يتساوى إحداثياه، فهو على خط المرآة. الخطأ الشائع أن تعكس في محور الصادات؛ هذا الخط هو القطر المائل لا المحور الرأسي. أما المستقيم الآخر المائل الذي يكون فيه الصادي سالب السيني، فبدّل الإحداثيين وغيّر إشارتيهما.

The most common 2-mark question: reflect a shape in $y = x$ . It is the slanting line through (0, 0), (1, 1), (2, 2).

Worked example

1
$(4, 1)$ — Take the first corner. Its x is 4 and its y is 1.
2
$(1, 4)$ — Swap the two numbers. The line $y = x$ sends each x to the y place and each y to the x place.
3
$(6, 1) \to (1, 6)$ — Second corner: swap again. 6 and 1 trade places.
4
$(6, 3) \to (3, 6)$ — Third corner: swap again.
5
$(2, 2) \to (2, 2)$ — A point with x equal to y is already on the line $y = x$ , so it does not move.
6
$(\frac{4 + 1}{2}, \frac{1 + 4}{2}) = (2.5, 2.5)$ — Check: the point halfway between (4, 1) and its image (1, 4) has x equal to y, so it is on the mirror line.

Common mistake

Reflecting in the y-axis instead. The line $y = x$ is the diagonal, not the upright axis.

Key idea

For $y = - x$ , swap and change both signs: (4, 1) goes to (−1, −4).

3. Reflecting in a Vertical Line

هنا نعكس في خط رأسي، أي خط كل نقاطه لها الإحداثي السيني نفسه. لأن الخط رأسي، يتغير الإحداثي السيني فقط ويبقى الصادي كما هو. لكل رأس: احسب المسافة الأفقية بينه وبين الخط، ثم امشِ المسافة نفسها مرة أخرى في الجهة الثانية من الخط: إذا كانت الجهة الثانية يمينًا فاجمع، وإذا كانت يسارًا فاطرح. ومع خط في الجهة السالبة الطريقة نفسها، لكن انتبه للإشارات واستعمل الأقواس مع الأعداد السالبة. الخطأ الشائع رسم هذا الخط أفقيًا؛ إنه رأسي.

The 2-mark question: reflect in $x = 5$ . Every point on this line has x equal to 5, so it goes straight up and down.

Worked example

1
$(2, 1) and x = 5$ — Take the corner (2, 1). The line $x = 5$ is upright, so only the x number changes. The y stays 1.
2
$5 - 2 = 3$ — Find the distance from the corner to the line: 3 squares across.
3
$5 + 3 = 8$ — Go the same distance again, on the other side of the line. That is to the right, so add.
4
$(2, 1) \to (8, 1)$ — Write the image. The new x is 8 and the y is still 1.
5
$5 - 3 = 2$ — Next corner (3, 1): its distance from the line is 2 squares.
6
$5 + 2 = 7, (3, 1) \to (7, 1)$ — Go 2 past the line, so the new x is 7.
7
$(2, 4) \to (8, 4)$ — The last corner (2, 4) has the same x as the first, so its new x is also 8. The y stays 4.

Exams also use lines such as $x = - 1$ . The method is the same. Take care with the signs.

Worked example

1
$(2, 3) and x = - 1$ — Now a line on the negative side. It is still upright, so only the x number changes.
2
$2 - (- 1) = 3$ — Distance from the line to the corner: take away the line's x. Use brackets for the negative. The corner is 3 to the right.
3
$- 1 - 3 = - 4$ — Go the same distance again, to the left of the line, so take 3 away from $- 1$ .
4
$(2, 3) \to (- 4, 3)$ — Write the image. The y stays 3.
5
$- 1 - (- 3) = 2$ — Another corner, $(- 3, 2)$ , is on the left of the line. Its distance is 2.
6
$- 1 + 2 = 1, (- 3, 2) \to (1, 2)$ — Go 2 past the line to the right, so add 2 to $- 1$ .

Common mistake

Drawing $x = 5$ as a flat line. It is upright, through (5, 0).

4. Reflecting in a Horizontal Line

هنا نعكس في خط أفقي، أي خط كل نقاطه لها الإحداثي الصادي نفسه. لأن الخط أفقي، يتغير الإحداثي الصادي فقط ويبقى السيني كما هو. لكل رأس: احسب المسافة الرأسية بينه وبين الخط، واستعمل الأقواس إذا كان في الحساب عدد سالب. ثم امشِ المسافة نفسها مرة أخرى في الجهة الثانية من الخط، فإذا كانت الجهة الثانية أسفل الخط فاطرح. الرؤوس التي لها الإحداثي الصادي نفسه تنتقل إلى الإحداثي الصادي الجديد نفسه. الخطأ الشائع أن تعدّ المسافة من محور السينات؛ عُدّ دائمًا من خط المرآة.

The 2-mark question: reflect in $y = - 1$ . This line goes straight across, through (0, −1).

Worked example

1
$(2, 1) and y = - 1$ — Take the corner (2, 1). The line $y = - 1$ is flat, so only the y number changes. The x stays 2.
2
$1 - (- 1) = 2$ — Distance from the line to the corner: take away the line's y, with brackets for the negative. The corner is 2 above the line.
3
$- 1 - 2 = - 3$ — Go the same distance again, below the line, so take 2 away from $- 1$ .
4
$(2, 1) \to (2, - 3)$ — Write the image. The x stays 2.
5
$(4, 1) \to (4, - 3)$ — Next corner: it has the same y, so the distance and the new y are the same. The x stays 4.
6
$2 - (- 1) = 3$ — Last corner (2, 2): its distance from the line is 3.
7
$- 1 - 3 = - 4, (2, 2) \to (2, - 4)$ — Go 3 below the line, so the new y is $- 4$ . The x stays 2.

Common mistake

Counting from the x-axis. Count from the mirror line $y = - 1$ .

5. Slanting Mirror Lines (Extended/Higher)

بعض أسئلة المستوى المتقدم تستعمل خط مرآة مائلًا لا يمر بنقطة الأصل، مثل المستقيم الذي يتساوى عليه الإحداثيان بعد رفعه إلى أعلى. الفكرة: انقل النقطة بحيث يصبح الخط هو المستقيم المار بالأصل، ثم بدّل الإحداثيين، ثم أرجع النقطة كما كانت. إذا كان الخط مرفوعًا إلى أعلى فأنزل النقطة بالمقدار نفسه أولًا، ثم بدّل، ثم ارفعها مرة أخرى. تحقق أن منتصف المسافة بين النقطة وصورتها يقع على خط المرآة. كرّر الخطوات الثلاث لكل رأس. وللخط المائل إلى الأسفل في المثال الأخير: بدّل الإحداثيين واطرح كلًا منهما من العدد الثابت في معادلة الخط. الخطأ الشائع نقل النقطة في الاتجاه الخطأ؛ حرّكها في الاتجاه الذي يجب أن يتحرك فيه الخط ليمر بالأصل.

Some Extended and Higher questions use a slanting mirror line that misses the origin, such as $y = x + 1$ . Shift the point so the line becomes $y = x$ , swap, then shift back.

Worked example

1
$y = x + 1$ — The line $y = x + 1$ is the line $y = x$ moved up 1. So lower the point 1 and the line becomes $y = x$ .
2
$(2, 5) \to (2, 4)$ — Lower the point by 1: take 1 from the y.
3
$(2, 4) \to (4, 2)$ — Now reflect in $y = x$ : swap the two numbers.
4
$(4, 2) \to (4, 3)$ — Raise the point by 1 to put the line back: add 1 to the y.
5
$(\frac{2 + 4}{2}, \frac{5 + 3}{2}) = (3, 4)$ — Check: the point halfway between (2, 5) and (4, 3) is (3, 4). Its y is its x plus 1, so it is on the mirror line.

Key idea

Do these three moves for every corner. For the line $x + y = 6$ , which slopes downward, swap the coordinates and take each one from 6: $(1, 2) \to (4, 5)$ .

Common mistake

Shifting the point the wrong way. Move it the same way the line must move to become $y = x$ . The line $y = x + 1$ must come down, so lower the point first.

6. Which Method? Read the Question

انظر أولًا إلى معادلة خط المرآة. إذا كان المستقيم الذي يتساوى عليه الإحداثيان فبدّل الإحداثيين، وإذا كان المستقيم الذي يكون فيه الصادي سالب السيني فبدّل وغيّر الإشارتين. إذا كان خطًا رأسيًا فالإحداثي السيني وحده يتغير، وإذا كان خطًا أفقيًا فالإحداثي الصادي وحده يتغير. تذكّر أن محور السينات خط أفقي معادلته أن الصادي يساوي صفرًا، ومحور الصادات خط رأسي معادلته أن السيني يساوي صفرًا. وفي الخط المائل الذي لا يمر بالأصل: أنزِل ثم بدّل ثم ارفع، وهذا للمستوى المتقدم. للتحقق: خط المرآة يقع تمامًا في منتصف المسافة بين كل رأس وصورته.

Look at the equation of the mirror line.

You see	You do
Reflect in $y = x$	swap the coordinates
Reflect in $y = - x$	swap and change both signs
Reflect in $x = 5$	upright line: only x changes
Reflect in $y = - 1$	flat line: only y changes
Reflect in the x-axis or y-axis	the x-axis is $y = 0$ (flat), the y-axis is $x = 0$ (upright)
Reflect in $y = x + 1$	lower, swap, raise (Extended/Higher)
Describe fully	Describing Transformations

Key idea

Check: the mirror line should be exactly halfway between each corner and its image.

تدرّب على الانعكاس

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الانعكاس

1. What a Reflection Does

2. Reflecting in y = x

3. Reflecting in a Vertical Line

4. Reflecting in a Horizontal Line

5. Slanting Mirror Lines (Extended/Higher)

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على الانعكاس

أسئلة امتحانات سابقة على الانعكاس، محلولة ومشروحة بالعربي