شرح النسب المئوية العكسية

Reverse Percentages

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Reverse Percentage Is

في النسبة المئوية العكسية تُعطى الكمية بعد التغيير، ومطلوب منك الكمية قبله، أي الأصلية. الأصل دائمًا يساوي مئة بالمئة. احسب كم بالمئة تمثّل الكمية التي معك الآن: بعد الخصم اطرح من مئة، وبعد الزيادة أضف إلى مئة، ثم اكتبها كمضاعف. القاعدة: إلى الأمام تضرب في المضاعف، وإلى الخلف تقسم عليه.

You are given the amount AFTER a percentage change. You must find the amount BEFORE it: the original.

The original is always 100%. Work out what percentage you are holding now, then write it as a multiplier.

Change	You now hold
25% off	75%, so $\times 0.75$
up 20%	120%, so $\times 1.2$
down 6%	94%, so $\times 0.94$
up 8%	108%, so $\times 1.08$

Rule

Going forwards you multiply by the multiplier. Going backwards you divide by it.

2. Undo a Decrease

لإيجاد السعر الأصلي بعد نقصان: الأصل مئة بالمئة، فاطرح نسبة الخصم لتعرف كم بالمئة يمثّل السعر الجديد، ثم حوّلها إلى مضاعف. اكتب المعادلة: الأصل مضروبًا في المضاعف يساوي السعر الجديد، وهذا السطر وحده يمنحك درجة. ثم اقسم السعر الجديد على المضاعف لترجع إلى الأصل، لأن القسمة تلغي الضرب. يجب أن يكون الأصل أكبر من سعر التخفيض، وتحقّق بالضرب إلى الأمام. الخطأ الشائع أن تضيف نسبة الخصم من السعر الجديد، لكن الخصم أُخذ من السعر الأصلي. وإذا سُئلت عن قيمة الخصم فاحسب الأصل أولًا ثم اطرح.

The 3-mark question: a sale price, a new salary or a value after it went down. Find the normal price or the value before.

Worked example

1
$100% - 25% = 75%$ — The question: after 25% off, a price is $51. The original is always 100%. 25% was taken off, so $51 is 75% of the original.
2
$multiplier = 0.75$ — 75% as a decimal is 75 ÷ 100 = 0.75. This is the number the original was multiplied by.
3
$0.75 \times original = 51$ — Write the equation: the original times the multiplier gave the sale price. This line alone earns a mark for working.
4
$original = 51 \div 0.75$ — Multiplying by 0.75 got you to $51, so divide by 0.75 to go back. Dividing undoes multiplying.
5
$= $68$ — The normal price. It is bigger than $51, which makes sense: the price went down to reach $51.
6
$check: 68 \times 0.75 = 51$ — Multiply forwards. You get the sale price back, so $68 is right.

Common mistake

Adding 25% of $51 back on gives $63.75. Wrong: the 25% was taken from the original, not from $51.

Key idea

Asked for the discount? Find the original first, then subtract: 68 − 51 = $17.

3. Undo an Increase

لإيجاد القيمة قبل الزيادة: القيمة القديمة مئة بالمئة، فأضف نسبة الزيادة لتعرف كم بالمئة تمثّل القيمة الجديدة، ثم حوّلها إلى مضاعف أكبر من الواحد. اكتب المعادلة: القديمة مضروبة في المضاعف تساوي الجديدة، ثم اقسم الجديدة على المضاعف. يجب أن تكون القيمة القديمة أصغر من الجديدة، وتحقّق بالضرب إلى الأمام. الخطأ الشائع أن تطرح نسبة الزيادة من القيمة الجديدة، لكن الزيادة حُسبت على القيمة القديمة. وإذا طُلب التقريب فلا تقرّب إلا في النهاية.

The 3-mark question: a price or salary went up, and you know the new amount. Find the amount before the increase.

Worked example

1
$100% + 20% = 120%$ — The question: a salary went up 20% to $31 200. The old salary is 100%. 20% was added, so $31 200 is 120% of it.
2
$multiplier = 1.2$ — 120% as a decimal is 120 ÷ 100 = 1.2. A multiplier bigger than 1 means an increase.
3
$1.2 \times old = 31200$ — Write the equation: the old salary times 1.2 gave the new salary.
4
$old = 31200 \div 1.2$ — Divide by 1.2 to undo the multiply and go back to the start.
5
$= $26 000$ — The old salary. It is smaller than $31 200, which makes sense before a rise.
6
$check: 26000 \times 1.2 = 31200$ — Multiply forwards. You get the new salary back, so the answer is right.

Common mistake

Taking 20% off $31 200 gives $24 960. Wrong: the 20% was worked out on the old salary, not the new one.

Key idea

If the question says 3 significant figures, round only at the very end.

4. No Calculator? Find 10% First

في الورقة بدون آلة حاسبة، القسمة على عدد عشري صعبة، فاستخدم طريقة العشرة بالمئة. احسب كم بالمئة يمثّل السعر الذي معك واكتبه: هذه النسبة تساوي هذا المبلغ. ثم اقسم لتجد العشرة بالمئة، ثم اضرب في عشرة لتصل إلى مئة بالمئة، وهو السعر الأصلي. وتحقّق بحساب الخصم وطرحه. إذا لم تكن النسبة من مضاعفات العشرة فاحسب الواحد بالمئة بدلًا منها ثم اضرب في مئة. الخطأ الشائع أن تحسب نسبة الخصم من السعر الجديد وتضيفها.

On a non-calculator paper, dividing by 0.7 is hard. Find 10% first, then build up to 100%.

Worked example

1
$100% - 30% = 70%$ — The question: after 30% off, a coat costs $63. So $63 is 70% of the normal price.
2
$70% = $63$ — Write down what you know. This is the line that earns the first mark.
3
$10% = 63 \div 7 = $9$ — 70% is 7 lots of 10%, so divide by 7 to find 10%.
4
$100% = 9 \times 10 = $90$ — 100% is 10 lots of 10%, so multiply by 10. This is the normal price.
5
$check: 90 - 27 = 63$ — 30% of $90 is $27, and $90 − $27 = $63. It works.

Key idea

If the percentage is not a multiple of 10, find 1% instead. If 104% is $624, then 1% = 624 ÷ 104 = $6, so 100% = 6 × 100 = $600.

Common mistake

Finding 30% of $63 and adding it on. The 30% was taken from the normal price, not from $63.

5. When You Know Part of the Whole

هنا تعرف جزءًا وتعرف أنه يمثّل نسبة معيّنة من الكل، والمطلوب هو الكل. اكتب النسبة كعدد عشري، واكتب المعادلة: العدد العشري مضروبًا في الكل يساوي الجزء، ثم اقسم الجزء على العدد العشري. الكل يجب أن يكون أكبر من الجزء، وتحقّق بالضرب. وانتبه: إذا أعطاك السؤال مقدار الزيادة نفسها لا الراتب الجديد، فالزيادة هي الجزء، فاقسمها على النسبة وحدها لا على مئة بالمئة مضافًا إليها النسبة. ثم أضف الزيادة إلى القديم فقط إذا طُلب الراتب الجديد. الخطأ الشائع أن تضرب بدل أن تقسم، فتحصل على عدد أصغر من الجزء.

The 2 or 3-mark question: you are told a part and what percentage of the whole it is. Find the whole.

Worked example

1
$35% of a number is 91$ — The question. 91 is only part of the number, so the number must be bigger than 91.
2
$0.35 \times number = 91$ — 35% as a decimal is 0.35. “35% of” means “0.35 times”.
3
$number = 91 \div 0.35$ — Divide by 0.35 to undo the multiply.
4
$= 260$ — The whole number. Check: 0.35 × 260 = 91.

Sometimes you are told the size of the change, not the new amount. Then the change is the part.

Worked example

1
$$900 = 12% of the old salary$ — The question: a pay rise of $900 was a 12% rise. The $900 is the 12% itself, not the new salary.
2
$0.12 \times old = 900$ — 12% as a decimal is 0.12. 12% of the old salary is $900.
3
$old = 900 \div 0.12$ — Divide by 0.12 to undo the multiply.
4
$= $7500$ — The old salary. Check: 0.12 × 7500 = 900.
5
$new = 7500 + 900 = $8400$ — Only if the question asks for the new salary: add the rise to the old salary.

Common mistake

Multiplying 91 by 0.35 gives 31.85. That makes it smaller, but the whole must be bigger than the part.

Common mistake

Dividing $900 by 1.12 gives $803.57. Wrong: $900 is the 12% rise itself, so divide by 0.12.

6. Two Changes, Then Go Back

عندما يحدث تغييران متتاليان وتعرف القيمة النهائية، اكتب مضاعفًا لكل تغيير، ثم اضرب المضاعفين لتحصل على مضاعف واحد يقوم بالتغييرين معًا. اكتب المعادلة: قيمة البداية مضروبة في هذا المضاعف تساوي القيمة النهائية، ثم اقسم القيمة النهائية على المضاعف لتلغي التغييرين دفعة واحدة. وتحقّق بتطبيق التغييرين إلى الأمام. الخطأ الشائع أن تجمع النسبتين أو تطرحهما وكأنها تغيير واحد. والفكرة نفسها تصلح لأسئلة «نسبة من الباقي»: اضرب المضاعفات لتعرف كم يمثّل الجزء الأخير من الكل، ثم اقسم.

The 3-mark question: two changes in a row, and you know the final value. Find the value at the start.

Worked example

1
$up 10% : \times 1.1$ — The question: a price went up 10%, then down 20%, and is now $264. Up 10% means 110%, so the first multiplier is 1.1.
2
$down 20% : \times 0.8$ — Down 20% leaves 80% of the new price, so the second multiplier is 0.8.
3
$1.1 \times 0.8 = 0.88$ — Multiply the two multipliers. This gives one multiplier that does both changes at once.
4
$0.88 \times start = 264$ — Write the equation: the start price times 0.88 gave $264.
5
$start = 264 \div 0.88$ — Divide by 0.88 to undo both changes in one go.
6
$= $300$ — The start price. Check: 300 × 1.1 = 330, then 330 × 0.8 = 264.

Common mistake

Treating it as a 10% fall and dividing by 0.9 gives $293.33. Multiply the two multipliers instead.

Key idea

The same works for “percent of what is left”. 20% of some coins are gold, 25% of the rest are silver, and the other 120 are copper. Copper is 0.8 × 0.75 = 0.6 of all the coins, so there are 120 ÷ 0.6 = 200 coins.

7. Shares Linked by Percentages

هنا مبلغ كلي يتقاسمه عدة أشخاص، ونصيب كل واحد مقارَن بنصيب شخص واحد بنسبة مئوية. سمِّ نصيب هذا الشخص بالمجهول، ثم اكتب كل نصيب آخر كمضاعف ضرب هذا المجهول: «كذا بالمئة من» يعني اضرب في النسبة كعدد عشري، و«كذا بالمئة أكثر» يعني مئة بالمئة مضافًا إليها الزيادة. اجمع الأنصبة واجعلها تساوي المبلغ الكلي، وهذه المعادلة تمنحك درجة، ثم اقسم على مجموع المعاملات. وتحقّق أن الأنصبة تجمع إلى المبلغ الكلي. الخطأ الشائع أن تقسم المبلغ على عدد الأشخاص وكأن الأنصبة متساوية.

Some questions give a total and compare each person's share with a percentage. Write every share in terms of one person, then divide.

Worked example

1
$Ali = A$ — The question: Ali, Bo and Cy share $620. Bo gets 80% of Ali's share. Cy gets 30% more than Ali. Everyone is compared with Ali, so call Ali's share A.
2
$Bo = 0.8 A$ — 80% of Ali's share is 0.8 times A.
3
$Cy = 1.3 A$ — 30% more than Ali means 100% + 30% = 130%, which is 1.3 times A.
4
$A + 0.8 A + 1.3 A = 3.1 A$ — Add the three shares. Together they are 3.1 lots of Ali's share.
5
$3.1 A = 620$ — The three shares make the total, $620. This equation earns a mark for working.
6
$A = 620 \div 3.1 = $200$ — Divide by 3.1 to find Ali's share.
7
$check: 200 + 160 + 260 = 620$ — Bo gets 0.8 × 200 = $160 and Cy gets 1.3 × 200 = $260. They add up to $620.

Common mistake

Dividing $620 by 3 gives $206.67. The shares are not equal, so add the multipliers (3.1) and divide by that.

8. Which Method? Read the Question

اسأل نفسك أولًا: هل أعرف الكمية قبل التغيير أم بعده؟ إذا كنت تعرف الكمية بعد التغيير وتريد الأصل فاقسم على المضاعف: بعد خصم اقسم على مضاعف أقل من الواحد، وبعد زيادة أو ضريبة اقسم على مضاعف أكبر من الواحد. إذا قيل إن نسبة من عدد تساوي قيمة فاقسم القيمة على النسبة كعدد عشري. مع تغييرين متتاليين اقسم على حاصل ضرب المضاعفين. وإذا سُئلت عن مقدار الخصم أو الزيادة فاحسب الأصل أولًا ثم اطرح. أما إذا كنت تعرف الأصل وتريد الجديد فهذا درس الزيادة والنقصان. وتحقّق: الأصل قبل النقصان أكبر، وقبل الزيادة أصغر.

Ask yourself: do I know the amount before the change, or after it?

You see	You do
the price after 15% off, find the normal price	divide by 0.85
after an increase of 8%, find the price before	divide by 1.08
40% of a number is 58	divide by 0.4
up, then down, find the start	divide by both multipliers multiplied
a price includes 15% tax, find it without tax	divide by 1.15
how much more, or how much was taken off	find the original first, then subtract
you know the original, find the new amount	Percentage Increases and Decreases
the same percentage each year for several years	Compound Interest

Key idea

Check your answer: before a decrease the original must be bigger; before an increase it must be smaller.

تدرّب على النسب المئوية العكسية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح النسب المئوية العكسية

1. What a Reverse Percentage Is

2. Undo a Decrease

3. Undo an Increase

4. No Calculator? Find 10% First

5. When You Know Part of the Whole

6. Two Changes, Then Go Back

7. Shares Linked by Percentages

8. Which Method? Read the Question

تدرّب على النسب المئوية العكسية

أسئلة امتحانات سابقة على النسب المئوية العكسية، محلولة ومشروحة بالعربي