شرح الأعداد المربعة

Square Numbers

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Square Number Is

العدد المربع هو عدد صحيح مضروب في نفسه. تخيّل صفوفًا من النقاط عددها يساوي عدد النقاط في كل صف، فتكوّن مربعًا، وعدد النقاط كلها عدد مربع. الأس الصغير الذي يعني «تربيع» معناه أن تستخدم العدد مرتين في عملية الضرب. احفظ أول خمسة عشر عددًا مربعًا. لاحظ أن الفروق بين الأعداد المربعة المتتالية هي الأعداد الفردية بالترتيب، لذلك تكبر المربعات بسرعة متزايدة. الخطأ الشائع أن تقرأ التربيع على أنه ضرب العدد في اثنين، والصحيح أنه ضرب العدد في نفسه.

A square number is a whole number times itself. 5 rows of 5 dots make a square with 25 dots, so 25 is a square number.

Formula

5^{2} = 5 \times 5 = 25

The small 2 means "squared": use the number twice in a multiplication.

Memory trick

Learn the first fifteen: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225.

Key idea

The gaps between square numbers are the odd numbers: 1 to 4 is +3, 4 to 9 is +5, 9 to 16 is +7. So the square numbers grow faster and faster.

Common mistake

Reading $5^{2}$ as 5 × 2 = 10. Squared means 5 × 5 = 25.

2. Spot a Square Number

سؤال الدرجة الواحدة الأكثر تكرارًا: اكتب عددًا مربعًا من قائمة، أو عددًا مربعًا بين عددين. الطريقة: اكتب المربعات التي تعرفها بالترتيب حتى تتجاوز أكبر عدد في القائمة، ثم ابحث عن العدد المشترك بين القائمتين. أي عدد يقع بين مربعين متتاليين ليس مربعًا. ومع المدى: ربّع الأعداد الصحيحة واحدًا تلو الآخر، واستبعد ما هو أصغر من المدى أو أكبر منه. الخطأ الشائع اختيار عدد لأنه حاصل ضرب عددين مختلفين، والمربع هو عدد في نفسه. ومع الجذر احسبه أولًا ولا تحكم بالعدد الذي تحته. وإذا طُلبت كل المربعات حتى عدد معين فابدأ بالواحد ولا تنسه، وأدخل العدد الأخير إذا كان مربعًا.

The 1-mark question you see most: “From the list, write down a square number”, or “Write down a square number between 50 and 70”.

From 12, 18, 36, 45, 50, 63, write down a square number.

Worked example

1
$1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64$ — Write the squares you know in order, up to just past 63, the largest number in the list.
2
$36 = 6 \times 6$ — 36 is in both lists, and 6 × 6 = 36. So 36 is a square number.
3
$12, 18, 45, 50, 63$ — Each of these sits between two squares (for example 45 is between 36 and 49), so none of them is square.

Some questions give a range instead: a square number between 50 and 70.

Worked example

1
$7^{2} = 49$ — Too small: 49 is just below 50, so try the next whole number.
2
$8^{2} = 64$ — 64 is between 50 and 70, so it is an answer.
3
$9^{2} = 81$ — Check the next one: 81 is above 70. So 64 is the only square in the range.

Common mistake

Picking 50 because 5 × 10 = 50. A square number is one number times itself, so check the squares you know.

Common mistake

Judging a √ by the number under it. Work it out first: $144 = 12$ , which is not square, but $81 = 9$ , which is.

Key idea

If you must write down all the square numbers up to 16, start at 1 and include 16: 1, 4, 9, 16. Missing 1 is the usual slip.

3. Square a Decimal

سؤال الدرجة الواحدة: احسب مربع كسر عشري. التربيع يعني ضرب العدد في نفسه، وليس في اثنين. الطريقة: تجاهل الفاصلة العشرية مؤقتًا واضرب الأرقام كأنها أعداد صحيحة، ثم عُدّ الخانات العشرية في العددين واجمعها، وضع الفاصلة في الناتج بحيث يكون له العدد نفسه من الخانات العشرية. الخطأ الشائع ضرب العدد في اثنين، وخطأ آخر نسيان أن تربيع كسر عشري بخانة واحدة يعطي خانتين، فتربيع ثلاثة أعشار يعطي تسعة أجزاء من مئة وليس تسعة أعشار. تحقق من الحجم: إذا كان العدد بين عددين صحيحين فمربعه بين مربعيهما.

The 1-mark question: “Find the value of $2. 6^{2}$ ”. Multiply 2.6 by itself, not by 2.

Worked example

1
$2. 6^{2} = 2.6 \times 2.6$ — Squared means the number times itself, so write 2.6 twice.
2
$26 \times 26 = 676$ — Ignore the decimal points for now and multiply the digits: 26 × 20 = 520, 26 × 6 = 156, and 520 + 156 = 676.
3
$2.6 \times 2.6 = 6. 76$ — Each 2.6 has one decimal place, so the answer has 1 + 1 = 2. Count two places in from the right of 676.

Common mistake

Working out 2.6 × 2 = 5.2. Squared never means times 2.

Common mistake

Writing $0. 3^{2} = 0.9$ . 3 × 3 = 9, and two decimal places make it 0.09.

Key idea

Check the size: 2.6 is between 2 and 3, so its square is between 4 and 9. 6.76 fits.

4. Negatives and Fractions

قد يطلب السؤال تربيع عدد سالب أو كسر، وكل منهما يحتاج خطوة إضافية. العدد السالب: ضعه بين قوسين حتى تُربَّع الإشارة السالبة أيضًا، والسالب في السالب يعطي موجبًا، لذلك المربع لا يكون سالبًا أبدًا. الكسر: التربيع يشمل الكسر كله، فربّع البسط وربّع المقام. الخطأ الشائع على الآلة الحاسبة كتابة العدد السالب بلا أقواس، فتربّع الآلة العدد وحده وتبقى الإشارة سالبة، لذلك اكتب الأقواس. وخطأ آخر تربيع البسط فقط ونسيان المقام.

Questions also square a negative number or a fraction. Each needs one extra move.

A negative number

Worked example

1
$(- 6)^{2} = (- 6) \times (- 6)$ — Keep −6 in brackets, so the minus is squared too.
2
$(- 6) \times (- 6) = 36$ — Minus times minus is plus. So a square is never negative.

A fraction

Worked example

1
$(\frac{3}{4})^{2} = \frac{3 ^{2}}{4 ^{2}}$ — The square acts on the whole fraction, so square the top and the bottom.
2
$= \frac{9}{16}$ — 3 × 3 = 9 and 4 × 4 = 16.

Common mistake

Typing −6² on a calculator gives −36, because it squares only the 6. Type the brackets: $(- 6)^{2} = 36$ .

Common mistake

Writing $(\frac{3}{4})^{2} = \frac{9}{4}$ . Square the bottom as well: 16, not 4.

5. Make It a Square

سؤال الدرجة الواحدة: ما أصغر عدد صحيح نضرب فيه العدد ليصبح الناتج عددًا مربعًا؟ الفكرة أن العدد المربع كل عامل أولي فيه يأتي في أزواج. الطريقة: حلّل العدد إلى عوامله الأولية، واجمع العوامل المتساوية. العامل الذي له زوج لا يحتاج شيئًا، والعامل الوحيد يحتاج نسخة أخرى منه. اضرب العوامل الوحيدة فقط، فهذا هو أصغر عدد. تحقق بأن كل الأسس أصبحت زوجية. وأي أس زوجي هو أزواج جاهزة. الخطأ الشائع أن تجيب بالعدد نفسه لأن ضربه في نفسه يعطي مربعًا، وهذا صحيح لكنه ليس الأصغر. وعادةً يسبق هذا الجزءَ سؤالُ التحليل إلى العوامل الأولية، فاكتب خطواته واستخدم سطره هنا.

The 1-mark question: “Find the smallest whole number that 60 can be multiplied by to give a square number.” Prime factors make it quick, because in a square every prime comes in pairs.

Worked example

1
$60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$ — Split 60 into primes first: 60 = 2 × 30, 30 = 2 × 15, 15 = 3 × 5. The next card shows the tree.
2
$60 = 2^{2} \times 3 \times 5$ — Group equal primes. A square is n × n, so each prime in it appears an even number of times.
3
$2^{2} = 2 \times 2$ — The two 2s are a pair, so they need nothing.
4
$3, 5$ — The 3 and the 5 are on their own, so each needs one more as a partner.
5
$3 \times 5 = 15$ — Multiply only the missing partners. The smallest number is 15.
6
$60 \times 15 = 900 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5^{2} = 3 0^{2}$ — Check: every prime is now in a pair, and 2 × 3 × 5 = 30, so 900 = 30 × 30.

Key idea

Any even power is already pairs: $2^{4} = 2^{2} \times 2^{2}$ . For $2^{4} \times 3 \times 7^{2}$ , only the 3 is alone, so multiply by 3.

Common mistake

Answering 60, because 60 × 60 is square. It works, but it is not the smallest. Only the primes with no partner are needed.

Key idea

This part usually follows “write the number as a product of primes”, which has marks for working. Write the factor tree or division steps down, then use that line here.

6. Square Factors

سؤالان آخران يعتمدان على الأزواج نفسها: اكتب عددًا كحاصل ضرب عددين مربعين، أو أوجد أكبر عامل مربع له. ابدأ دائمًا بالتحليل إلى العوامل الأولية. في السؤال الأول كل زوج من العوامل الأولية هو عدد مربع وحده، فاكتب العدد كحاصل ضرب هذين المربعين، وكلاهما أكبر من الواحد. وفي السؤال الثاني أخرج أكبر عدد ممكن من الأزواج، واترك العامل الزائد جانبًا، ثم اضرب كل الأزواج معًا، فهذا هو أكبر عامل مربع. تحقق بقسمة العدد عليه لتحصل على عدد صحيح. الخطأ الشائع إعطاء عامل مربع صغير وليس الأكبر، فاجمع كل الأزواج معًا.

Two more questions use the same pairs: write a number as two square numbers multiplied, or find its largest square factor.

Write 1225 as a product of two square numbers, both greater than 1

Worked example

1
$1225 = 5^{2} \times 7^{2}$ — Primes first: 1225 = 5 × 245, 245 = 5 × 49, and 49 = 7 × 7.
2
$5^{2} = 25, 7^{2} = 49$ — Each pair is a square number on its own: 25 and 49.
3
$1225 = 25 \times 49$ — So 1225 is 25 times 49. Both are square and both are bigger than 1.

Find the largest square number that is a factor of 72

Worked example

1
$72 = 2^{3} \times 3^{2}$ — Primes first: 72 = 8 × 9 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3.
2
$2^{3} = 2^{2} \times 2$ — Take out as many pairs as you can. Three 2s give one pair and one spare 2.
3
$2^{2} \times 3^{2} = 4 \times 9 = 36$ — Multiply all the pairs together: the 2s and the 3s. That is the largest square factor.
4
$72 = 36 \times 2$ — Check: 72 ÷ 36 = 2, a whole number, and 36 = 6 × 6.

Common mistake

Giving 4 or 9. Both are square factors of 72, but not the largest. Put all the pairs together.

7. Show It Is Square and Cube

سؤال الدرجتين: أثبت أن العدد مربع ومكعب في الوقت نفسه. اكتب عملية ضرب لكل منهما. للمربع: ابحث عن عدد مضروب في نفسه يعطي العدد، واكتب الضرب كاملًا. للمكعب: ابحث عن عدد يُضرب في نفسه ثلاث مرات، فاضرب أول عددين ثم اضرب الناتج في الثالث. ثم اكتب الحقيقتين معًا كإجابة. الخطأ الشائع أن تقول فقط إنه موجود في قائمة المربعات، لكن أسئلة «أثبت» تحتاج خطوات مكتوبة. الدرجات على الخطوات: عملية ضرب صحيحة تعطي الدرجة الأولى، وإظهار الاثنين يعطي الثانية.

The 2-mark question: “Show that 729 is both a square number and a cube number.” Write one multiplication for each.

Worked example

1
$27 \times 27 = 729$ — For a square, find a number times itself that makes 729: 27 × 20 = 540, 27 × 7 = 189, and 540 + 189 = 729.
2
$729 = 27^{2}$ — One number times itself, so 729 is a square number: 27 squared.
3
$9 \times 9 = 81$ — For a cube, use one number three times. Multiply the first two nines.
4
$81 \times 9 = 729$ — Multiply by the third nine. It makes 729, so 729 is 9 cubed.
5
$729 = 2 7^{2} = 9^{3}$ — Write both facts together as your answer. Both are shown, so it is both.

Common mistake

Only saying “it is in the list of squares”. Show questions need the working: write the multiplications out.

Key idea

The marks are for working: one correct multiplication earns the first mark, and showing both earns the second.

8. Which Method? Read the Question

ابحث عن الكلمة المفتاحية ثم استخدم الدرس المناسب. «اكتب عددًا مربعًا»: قارن بالمربعات التي تعرفها. «احسب مربع كسر عشري»: اضربه في نفسه. مربع عدد سالب أو كسر: استخدم الأقواس، وربّع البسط والمقام. «أصغر عدد يعطي مربعًا»: حلّل إلى عوامل أولية ورتّبها في أزواج. «عددان مربعان» أو «أكبر عامل مربع»: حلّل واجمع الأزواج. «مربع ومكعب»: عملية ضرب لكل منهما. أما الجذر التربيعي، والأعداد المكعبة، والجذر التكعيبي، والتحليل إلى العوامل الأولية، فلكل منها درس خاص. وتذكّر أن المربعات تكبر بسرعة، فإذا كانت إجابتك بعيدة جدًا عن المتوقع فراجعها.

Look for the key word, then use the right lesson.

You see	You do
Write down a square number	check the squares you know
Find the value of 2.6 squared	multiply it by itself
A negative or a fraction squared	brackets; square the top and the bottom
Smallest number to give a square	prime factors, pair them up
Two square numbers, or largest square factor	prime factors, put the pairs together
Square number and cube number	one multiplication for each
Square root, or the √ sign	Square Roots
Cube number, used three times	Cube Numbers
Cube root	Cube Roots
Product of prime factors	Prime Factorization

Key idea

Squares grow fast: 10 squared is 100, 15 squared is 225. If your answer is far off that, check it.

تدرّب على الأعداد المربعة

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الأعداد المربعة

1. What a Square Number Is

2. Spot a Square Number

3. Square a Decimal

4. Negatives and Fractions

5. Make It a Square

6. Square Factors

7. Show It Is Square and Cube

8. Which Method? Read the Question

تدرّب على الأعداد المربعة

أسئلة امتحانات سابقة على الأعداد المربعة، محلولة ومشروحة بالعربي