شرح الهندسة المتجهية

Vector Geometry

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024 · IGCSE Additional Maths 0606

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What Vector Geometry Asks

الأسئلة الكبيرة في هندسة المتجهات ترسم خطين داخل شكل يتقاطعان في نقطة، والمطلوب إيجاد المتجه إلى نقطة التقاطع، أو النسبة التي تقسم بها هذه النقطة أحد الخطين. الفكرة: النقطة تقع على الخط الأول، فمتجهها كسر مجهول من متجه ذلك الخط؛ وتقع أيضًا على الخط الثاني، فلها تعبير آخر بكسر مجهول آخر. عندها يكون لديك تعبيران للنقطة نفسها، فتساوي معاملات المتجه الأول في التعبيرين، ومعاملات المتجه الثاني كذلك. الحرفان اليونانيان لامدا وميو يمثلان هذين الكسرين المجهولين: إلى أي مدى تقع النقطة على كل خط.

The big questions draw two lines across a shape. They cross at a point P. You find the vector to P, or the ratio P makes on a line.

Steps

1
P is on the line OM: $O P = λ O M$
2
P is also on AN: $A P = μ A N$
3
Two answers for one point: match the a terms and the b terms.

Key idea

The Greek letters $λ$ (lambda) and $μ$ (mu) are unknown fractions: how far along each line P sits.

2. Two Routes to the Same Point

هذا هو سؤال الخمس أو الست درجات، وهو الأكثر تكرارًا بكثير. المطلوب أولًا أن تكتب متجه نقطة التقاطع بطريقتين. الطريق الأول: أوجد متجه الخط الأول من نقطة الأصل، مستعملًا نقطة المنتصف أي نصف الضلع، ثم اجمع الحدود المتشابهة، واضربه في كسر مجهول لأن النقطة تقع عليه. الطريق الثاني: حوّل النسبة المعطاة إلى كسر لتجد النقطة على الضلع، ثم أوجد متجه الخط الثاني، وامشِ من نقطة الأصل إلى بدايته ثم كسرًا مجهولًا آخر على طوله، وفكّ القوس واجمع الحدود. الخطأ الشائع هو استعمال الحرف نفسه للطريقين؛ النقطة تقع عند كسر مختلف على كل خط، لذلك تحتاج حرفين مختلفين.

The 5 or 6-mark question, the most common by far. Here $O A = 3 a$ , $O B = 3 b$ , M is the midpoint of AB, N is on OB with $O N : N B = 1 : 2$ , and P is where OM meets AN. First write $O P$ two ways.

Worked example

1
$A B = - 3 a + 3 b$ — Walk from A back to O (that is −3a), then out to B (that is 3b).
2
$A M = \frac{1}{2} (- 3 a + 3 b)$ — M is the midpoint of AB, so AM is half of AB.
3
$O M = 3 a + \frac{1}{2} (- 3 a + 3 b)$ — Walk from O to A, then from A to M.
4
$O M = \frac{3}{2} a + \frac{3}{2} b$ — Collect the a terms: 3a − (3/2)a = (3/2)a. The b term is (3/2)b.
5
$O P = λ O M$ — P is on OM, so OP is some fraction λ of OM.
6
$O P = \frac{3}{2} λ a + \frac{3}{2} λ b$ — Route 1: multiply λ into each term.
7
$O N = \frac{1}{3} \times 3 b = b$ — ON : NB = 1 : 2 makes ON one part out of three of OB.
8
$A N = - 3 a + b$ — Walk from A back to O, then out to N.
9
$O P = 3 a + μ (- 3 a + b)$ — Route 2: walk to A, then a fraction μ of the way along AN. It is a different fraction, so it gets a different letter.
10
$O P = (3 - 3 μ) a + μ b$ — Multiply μ into the bracket, then collect the a terms: 3a − 3μa.

Common mistake

Using the same letter for both routes. P is a different fraction of the way along each line, so it needs two letters.

3. Match the a and b Terms

الطريقان ينتهيان عند النقطة نفسها، لذلك يجب أن تتساوى كمية المتجه الأول في التعبيرين، وكذلك كمية المتجه الثاني؛ وهذا يعطيك معادلتين في مجهولين. ابدأ بالمعادلة الأبسط، ثم عوّض بها في الأخرى لتبقى معادلة بمجهول واحد فتحلّها. بعد ذلك عوّض بالقيمة لتجد المجهول الثاني، ثم عوّض في أحد الطريقين لتكتب متجه النقطة. وإذا طُلبت نسبة، فاقرأها من الكسر: الكسر يمثل الجزء من بداية الخط حتى النقطة، والباقي هو واحد ناقص هذا الكسر.

Both routes end at the same point, so the amounts of $a$ must match and the amounts of $b$ must match. That gives two equations.

Worked example

1
$b : \frac{3}{2} λ = μ$ — Both routes end at P, so the amount of b in each must match.
2
$a : \frac{3}{2} λ = 3 - 3 μ$ — The amount of a must match too.
3
$μ = 3 - 3 μ$ — The left sides of both equations are the same, so the right sides are equal. This leaves only one letter.
4
$4 μ = 3$ — Add 3μ to both sides.
5
$μ = \frac{3}{4}$ — Divide both sides by 4.
6
$\frac{3}{2} λ = \frac{3}{4}$ — Put μ = 3/4 into the b equation.
7
$λ = \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$ — Multiply both sides by 2/3 to get λ alone.
8
$O P = \frac{3}{4} a + \frac{3}{4} b$ — Put μ = 3/4 into route 2: 3 − 3(3/4) = 3/4 for the a term, and μ for the b term.
9
$O P : P M = λ : (1 - λ) = \frac{1}{2} : \frac{1}{2} = 1 : 1$ — P is λ of the way along OM, so OP is λ and PM is the rest, 1 − λ.

Key idea

If the question asks for a ratio, read it off the letter: $λ = \frac{1}{2}$ means P is half of the way from O to M.

4. Part (a): Write a Side

الجزء الأول من السؤال، وعليه درجة واحدة، يطلب غالبًا متجه ضلع واحد، وستحتاجه مرة أخرى في الجزء التالي. الضلع لا يبدأ من نقطة الأصل، فامشِ من بدايته رجوعًا إلى نقطة الأصل ثم خارجًا إلى نهايته. الرجوع على متجه معطى يعني أن تضع أمامه إشارة سالب. ثم اجمع الجزأين. الخطأ الشائع هو كتابة الإشارتين بالعكس، وهذا يعني أنك مشيت الضلع في الاتجاه الخاطئ.

The 1-mark part (a) nearly always asks for one side, like $A B$ . Use it again in part (b).

Worked example

1
$O A = 5 a, O B = 3 b$ — These are the vectors from O. The side AB does not start at O.
2
$A B = A O + O B$ — Walk from A back to O, then out to B.
3
$A O = - 5 a$ — Going back along OA is the opposite of OA, so it gets a minus.
4
$A B = - 5 a + 3 b$ — Put the two parts together.

Common mistake

Writing 5a − 3b. That is BA, the side walked the wrong way. The routes are in Expressing Vectors in Terms of a and b.

5. Finding a Ratio From a Multiple

في سؤال الدرجات الثلاث يُعطى متجه جزء من خط، ويُطلب النسبة التي تقسم بها النقطة هذا الخط. أوجد أولًا متجه الخط كاملًا من بدايته إلى نهايته، مستعملًا نقطة المنتصف أي نصف الضلع إن وُجدت، واجمع الحدود المتشابهة. ثم أخرج عاملًا مشتركًا من المتجه المعطى لترى أنه كسر مضروب في متجه الخط الكامل. الباقي من الخط هو واحد ناقص هذا الكسر، والنسبة هي الكسر إلى الباقي، ثم تبسّطها إلى أعداد صحيحة. الخطأ الشائع هو كتابة البسط إلى المقام كنسبة؛ الكسر يقارن الجزء بالكل، أما النسبة المطلوبة فتقارن الجزء بالجزء الباقي.

The 3-mark question gives $A P$ and asks for $A P : P M$ . Find $A M$ , then see what multiple of it $A P$ is.

Worked example

1
$A B = 6 a, A C = 2 b$ — M is the midpoint of BC. First find AM.
2
$B C = - 6 a + 2 b$ — Walk from B back to A, then out to C.
3
$B M = \frac{1}{2} (- 6 a + 2 b) = - 3 a + b$ — M is the midpoint, so BM is half of BC.
4
$A M = 6 a + (- 3 a + b)$ — Walk from A to B, then from B to M.
5
$A M = 3 a + b$ — Collect the a terms: 6a − 3a = 3a.
6
$A P = 2 a + \frac{2}{3} b$ — This is the vector the question gives for AP.
7
$A P = \frac{2}{3} (3 a + b)$ — Take out 2/3: (2/3) × 3a = 2a and (2/3) × b = (2/3)b, so AP is two thirds of AM.
8
$P M = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} of A M$ — The rest of AM is what is left over.
9
$A P : P M = \frac{2}{3} : \frac{1}{3} = 2 : 1$ — Two thirds to one third is the same as 2 parts to 1 part.

Common mistake

Writing 2 : 3. The fraction two thirds means AP is 2 parts of 3, so PM is the 1 part left.

6. Ratio From a Position Vector

أحيانًا يُعطى متجه موضع نقطة تقع على خط، ويُطلب النسبة التي تقسم بها الخط. أوجد متجه الجزء من بداية الخط إلى النقطة: ارجع من البداية إلى نقطة الأصل ثم اخرج إلى النقطة، واجمع الحدود المتشابهة. ثم أخرج عاملًا مشتركًا، فيظهر أن هذا الجزء كسر من متجه الخط كاملًا. الجزء الباقي هو واحد ناقص هذا الكسر، والنسبة بينهما هي الإجابة. وللتحقق: المعاملان في متجه موضع نقطة على الخط مجموعهما واحد، والنقطة تكون أقرب إلى الطرف الذي معامله أكبر.

Sometimes the question gives you the position vector of a point on a line and asks for the ratio it makes. Work out its piece of the line and compare.

Worked example

1
$O A = x, O B = y, O D = \frac{3}{7} x + \frac{4}{7} y$ — D is on the line AB. Find AD : DB.
2
$A D = A O + O D = - x + \frac{3}{7} x + \frac{4}{7} y$ — Walk from A back to O, then out to D.
3
$A D = - \frac{4}{7} x + \frac{4}{7} y$ — Collect the x terms: −1 + 3/7 = −4/7.
4
$A D = \frac{4}{7} (- x + y)$ — Take out 4/7 from both terms.
5
$A B = - x + y$ — Walk from A back to O, then out to B. It is the same bracket.
6
$A D = \frac{4}{7} A B$ — So AD is four sevenths of the whole line AB.
7
$D B = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7} of A B$ — DB is the rest of the line.
8
$A D : D B = 4 : 3$ — Four sevenths to three sevenths is 4 parts to 3 parts.

Key idea

Check: the two fractions in OD add to 1 (3/7 + 4/7), as they must for a point on AB. The bigger fraction is on y, so D is nearer B, and AD : DB = 4 : 3.

7. When a Line Is Extended

أحيانًا لا يلتقي الخطان إلا إذا مددت أحدهما خارج الشكل. الطريقة نفسها تمامًا: اكتب متجه نقطة التقاطع بطريقين، كل طريق بكسر مجهول مختلف، ثم فكّ الأقواس واجمع الحدود المتشابهة. ساوِ معاملات المتجه الأول ومعاملات المتجه الثاني، وعوّض من معادلة في الأخرى لتحلّها. سيخرج الكسر أكبر من واحد، وهذا صحيح لأن النقطة تقع بعد نهاية الخط. ثم عوّض لتجد متجه النقطة، مع الاحتفاظ بالأقواس كي لا تضيع الإشارة السالبة، واقرأ النسبة من قيمة الكسر. الخطأ الشائع هو رفض الكسر لأنه أكبر من واحد؛ هذا يعني فقط أن الخط ممدود.

Sometimes the lines only meet when one is extended past the shape. You use the same two routes. The fraction just comes out bigger than 1.

$O A = 6 a$ , $O B = 2 b$ , $O P = 2 a$ and $O Q = b$ . The lines AB and PQ meet at R, beyond B. Find $O R$ and the ratio $A B : B R$ .

Worked example

1
$A B = - 6 a + 2 b$ — Walk from A back to O, then out to B.
2
$O R = 6 a + μ (- 6 a + 2 b)$ — Route 1: R is on AB. Walk to A, then a fraction μ along AB.
3
$O R = (6 - 6 μ) a + 2 μ b$ — Multiply μ into the bracket and collect.
4
$P Q = - 2 a + b$ — Walk from P back to O, then out to Q.
5
$O R = 2 a + λ (- 2 a + b)$ — Route 2: R is on PQ. Walk to P, then a fraction λ along PQ.
6
$O R = (2 - 2 λ) a + λ b$ — Multiply λ into the bracket and collect.
7
$b : 2 μ = λ$ — Both routes reach R, so the b terms match.
8
$a : 6 - 6 μ = 2 - 2 λ$ — The a terms match too.
9
$6 - 6 μ = 2 - 4 μ$ — Replace λ by 2μ, so 2λ becomes 4μ.
10
$4 = 2 μ$ — Add 6μ to both sides, then take 2 from both sides.
11
$μ = 2$ — Divide both sides by 2. It is bigger than 1, which is right: R is beyond B.
12
$O R = (6 - 6 (2)) a + 2 (2) b = - 6 a + 4 b$ — Put μ = 2 into route 1. Keep the brackets so the negative is not lost.
13
$A R = 2 A B$ — μ = 2 means R is twice as far from A as B is.
14
$A B : B R = 1 : 1$ — AB is one half of AR, so BR is the other half. B is the midpoint of AR.

Common mistake

Rejecting μ = 2 because a fraction should be less than 1. Past 1 only means the point is beyond the end of the line, and that is what “extended” means.

8. Which Method? Read the Question

انظر إلى ما يعطيه السؤال وإلى ما يطلبه. كتابة متجه ضلع بدرجة واحدة: طريق واحد عبر أضلاع معروفة. خطان يتقاطعان: طريقان بكسرين مجهولين، ثم ساوِ معاملات المتجهين. خطان يلتقيان خارج الشكل: الطريقة نفسها، والكسر أكبر من واحد. متجه جزء معطى والمطلوب نسبة: اكتبه كمضاعف للخط كاملًا. متجه موضع نقطة معطى والمطلوب نسبة: اكتب الجزء كمضاعف للخط كاملًا. أما المسافات والبراهين فلها دروس خاصة. واعرض خطوات الحل بوضوح، فالدرجات على كل طريق وكل معادلة وليس على الإجابة فقط.

Look at what the question gives and what it wants.

You see	You do
Write AB (1 mark)	one route: Expressing Vectors in Terms of a and b
Two lines meet at P	two routes, two unknown fractions, match a and b
Lines meet beyond the shape	same two routes: the fraction is bigger than 1
AP given, find AP : PM	write AP as a multiple of AM
Position vector of D given, find AD : DB	write AD as a multiple of AB
Distance between towns	Magnitude of a Vector
Prove parallel or a straight line	Vector Proofs

Key idea

Show your working clearly. The marks come from each route and each equation, not only the answer.

تدرّب على الهندسة المتجهية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الهندسة المتجهية

1. What Vector Geometry Asks

2. Two Routes to the Same Point

3. Match the a and b Terms

4. Part (a): Write a Side

5. Finding a Ratio From a Multiple

6. Ratio From a Position Vector

7. When a Line Is Extended

8. Which Method? Read the Question

تدرّب على الهندسة المتجهية

أسئلة امتحانات سابقة على الهندسة المتجهية، محلولة ومشروحة بالعربي