شرح البراهين المتجهية

Vector Proofs

يأتي في امتحانات Edexcel Further Pure Maths 4PM1 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · IGCSE Additional Maths 0606

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Vector Proof Needs

البرهان بالمتجهات يثبت حقيقة عن الخطوط باستخدام المضاعفات. لإثبات أن خطين متوازيان: بيّن أن أحد المتجهين عدد مضروب في الآخر. لإثبات أن ثلاث نقاط على خط مستقيم: بيّن التوازي وأن الخطين يشتركان في نقطة. لإثبات أن شكلًا شبه منحرف: بيّن أن فيه زوجًا من الأضلاع المتوازية. إيجاد المضاعف هو الجزء الرياضي، أما الجملة الأخيرة التي تشرح ماذا يعني ذلك فلها درجة مستقلة، فلا تنسَها.

A vector proof shows a fact about lines using a multiple. Most ask for one of two things, and each ends with one sentence.

To prove	Show
Two lines are parallel	one vector is a number times the other
Three points are on a straight line	parallel and a shared point
A shape is a trapezium	one pair of sides is parallel

Key idea

Finding the multiple is the maths. The last sentence, saying what it means, is a mark on its own.

2. Proving Three Points Are on a Straight Line

هذا سؤال الدرجات الخمس: إثبات أن ثلاث نقاط تقع على خط مستقيم. الخطة: أوجد متجه الجزء من النقطة الأولى إلى الثانية، ومتجه الجزء من الثانية إلى الثالثة، ثم بيّن أن أحدهما مضاعف للآخر. لكتابة كل متجه، امشِ عبر أضلاع معروفة، واستعمل نقطة المنتصف كنصف ضلع، وحوّل النسبة إلى كسر من الضلع، ثم فكّ الأقواس واجمع الحدود المتشابهة. بعد ذلك أخرج عاملًا مشتركًا لترى القوس نفسه في المتجهين. اختم بجملة: المتجهان متوازيان، ويشتركان في النقطة الوسطى، إذن النقاط الثلاث على خط مستقيم. الخطأ الشائع هو التوقف عند التوازي؛ فالخطان المتوازيان قد يكونان متجاورين، فلا بد أن تذكر النقطة المشتركة.

The 5-mark question. Here $O A = 6 a$ , $O B = 6 b$ , C is the midpoint of OA, D is on AB with $A D : D B = 2 : 1$ , and $B E = O B$ . Prove C, D and E are on a straight line.

Worked example

1
$A B = A O + O B$ — First the side that D sits on. Go from A back to O, then out to B.
2
$= - 6 a + 6 b$ — A to O goes against $O A$ , so it is $- 6 a$ . O to B is $6 b$ .
3
$C D = C A + A D$ — Now C to D. Go from C along to A, then from A to D.
4
$C A = 3 a$ — C is the midpoint of OA, so CA is half of $6 a$ .
5
$A D = \frac{2}{3} A B$ — $A D : D B = 2 : 1$ makes 3 parts, and AD is 2 of them.
6
$C D = 3 a + \frac{2}{3} (- 6 a + 6 b)$ — Put in CA and AD.
7
$= 3 a - 4 a + 4 b$ — Multiply out the bracket: $\frac{2}{3} \times (- 6) = - 4$ and $\frac{2}{3} \times 6 = 4$ .
8
$= - a + 4 b$ — Collect the $a$ terms: $3 - 4 = - 1$ .
9
$D E = D B + B E$ — Now D to E. Go from D to B, then from B to E.
10
$= \frac{1}{3} (- 6 a + 6 b) + 6 b$ — DB is the other 1 part of 3, so one third of AB. BE equals OB, which is $6 b$ .
11
$= - 2 a + 2 b + 6 b$ — Multiply out the bracket.
12
$= - 2 a + 8 b$ — Collect the $b$ terms: $2 + 6 = 8$ .
13
$= 2 (- a + 4 b)$ — Take out the common factor 2. The bracket is the same as in CD.
14
$= 2 C D$ — So DE is a multiple of CD: exactly twice it.

Rule

Write: $D E = 2 C D$ , so CD and DE are parallel. They share the point D, so C, D and E lie on a straight line.

Common mistake

Stopping at parallel. Two parallel lines can be side by side. Say they share the point D.

3. Proving Two Lines Are Parallel

هذا سؤال الدرجات الثلاث: إثبات أن الشكل شبه منحرف، أي أن فيه ضلعين متوازيين. أوجد متجه كل ضلع من الضلعين بالمشي رجوعًا إلى نقطة الأصل ثم خارجًا، مع إشارة سالب للرجوع. ثم أخرج عاملًا مشتركًا من كل منهما، فيظهر القوس نفسه في الاثنين، وبمقارنة العددين أمام القوس تعرف أن أحدهما كسر من الآخر. اختم بجملة: أحد الضلعين مضاعف للآخر، إذن هما متوازيان، فالشكل فيه زوج من الأضلاع المتوازية وهو شبه منحرف. الخطأ الشائع هو القول إن الضلعين متساويان؛ هما متوازيان لكن أحدهما أقصر.

The 3-mark question: prove a shape is a trapezium. Here $O A = 4 a$ , $O B = 4 b$ , C is on OA with $O C = 3 a$ , and D is on OB with $O D = 3 b$ .

Worked example

1
$C D = C O + O D$ — Go from C back to O, then out to D.
2
$= - 3 a + 3 b$ — C to O goes against $O C$ , so it is $- 3 a$ . O to D is $3 b$ .
3
$= 3 (b - a)$ — Take out the common factor 3.
4
$A B = A O + O B$ — Use the same route for AB: from A back to O, then out to B.
5
$= - 4 a + 4 b$ — A to O is $- 4 a$ and O to B is $4 b$ .
6
$= 4 (b - a)$ — Take out the common factor 4.
7
$C D = \frac{3}{4} A B$ — Both have the bracket $(b - a)$ : CD has 3 of it and AB has 4. So CD is three quarters of AB.

Rule

Write: CD is a multiple of AB, so CD is parallel to AB. So ABDC has a pair of parallel sides and is a trapezium.

Common mistake

Saying the sides are equal. CD is three quarters of AB: parallel, but shorter.

4. Finding an Unknown Number (k)

بعض الأسئلة تترك عددًا مجهولًا في المتجه، وتجده بمساواة معاملات المتجهين. إذا كانت النقاط على خط مستقيم، فمتجه الجزء الأطول عدد مجهول مضروب في متجه الجزء الأقصر؛ فاكتبه بهذه الطريقة وفكّ القوس. ثم اكتب المتجه نفسه بطريق ثانٍ عبر أضلاع معروفة، واجمع الحدود المتشابهة. ساوِ معامل المتجه الأول في التعبيرين لتجد عامل الضرب، ثم ساوِ معامل المتجه الثاني لتجد العدد المجهول. وتحقّق بالتعويض. الفكرة الأساسية: المتجهان متساويان فقط إذا تساوت معاملات المتجه الأول وتساوت معاملات المتجه الثاني، لأن المتجهين الأساسيين يشيران في اتجاهين مختلفين ولا يحل أحدهما محل الآخر.

Some questions leave a number such as $k$ unknown. You find it by matching the $a$ terms and the $b$ terms.

Worked example

1
$O N = b, O R = \frac{1}{3} a + \frac{2}{3} b, N T = 6 a + k b, O T = c O R$ — What we are given. O, R and T are on a straight line, so OT is a multiple $c$ of OR.
2
$O T = O N + N T$ — Find OT a second way: go from O to N, then from N to T.
3
$= b + 6 a + k b$ — ON is $b$ , and NT is given.
4
$= 6 a + (1 + k) b$ — Collect the $b$ terms: $b + k b = (1 + k) b$ .
5
$O T = c (\frac{1}{3} a + \frac{2}{3} b) = \frac{c}{3} a + \frac{2 c}{3} b$ — OT is also $c$ times OR. Multiply out the bracket.
6
$\frac{c}{3} = 6$ — Both lines are OT, so the $a$ terms must match.
7
$c = 18$ — Multiply both sides by 3.
8
$1 + k = \frac{2 c}{3}$ — The $b$ terms must match as well.
9
$1 + k = \frac{2 \times 18}{3} = 12$ — Put in $c = 18$ .
10
$k = 11$ — Take 1 from both sides.
11
$18 \times \frac{1}{3} = 6, 18 \times \frac{2}{3} = 12$ — Check: OT is $6 a + 12 b$ , and $1 + 11 = 12$ . Both match.

Key idea

Two vectors are equal only when the $a$ parts match and the $b$ parts match. The vectors $a$ and $b$ point different ways, so one cannot stand in for the other.

5. Proving With Number Vectors

أحيانًا تُعطى المتجهات كأعداد في أعمدة بدلًا من الحروف، والفكرة نفسها: بيّن أن أحد المتجهين مضاعف للآخر. إذا كانت نقطة البداية مجهولة، فأوجدها بطرح المتجه من نقطة النهاية. ثم أوجد المتجه الثاني بقاعدة النهاية ناقص البداية. أخرج عاملًا مشتركًا من عدديه، فإذا ظهر داخل القوس المتجه الأول نفسه فهو مضاعف له. اختم بجملة: المتجهان متوازيان ويشتركان في نقطة، إذن النقاط الثلاث على خط مستقيم. الخطأ الشائع هو طرح النهاية من البداية؛ المتجه دائمًا النهاية ناقص البداية.

Sometimes the vectors are given as numbers. The idea is the same: show that one is a multiple of the other.

Worked example

1
$A B = (35), B = (4, 7), E = (16, 27)$ — What we are given. We must show A, B and E are on a straight line.
2
$A = (4 - 3, 7 - 5) = (1, 2)$ — AB goes from A to B, so A is B minus AB. Take 3 from the x and 5 from the y.
3
$A E = (16 - 1 27 - 2) = (1525)$ — End minus start gives the vector from A to E.
4
$= 5 (35)$ — Take out the common factor 5: $15 = 5 \times 3$ and $25 = 5 \times 5$ .
5
$A E = 5 A B$ — The bracket is AB, so AE is 5 times AB.

Rule

Write: $A E = 5 A B$ , so AE is parallel to AB. They share the point A, so A, B and E lie on a straight line.

Common mistake

Taking the start from the end the wrong way round. A vector is always end minus start: $E - A$ , not $A - E$ .

6. Which Method? Read the Question

ابحث عن كلمة «أثبت»، ثم انظر ماذا يُطلب إثباته. إثبات التوازي: بيّن أن أحد المتجهين عدد مضروب في الآخر. إثبات أن النقاط على خط مستقيم: التوازي مع نقطة مشتركة. إثبات أن الشكل شبه منحرف: أوجد زوجًا واحدًا من الأضلاع المتوازية. عدد مجهول مطلوب: ساوِ معاملات المتجه الأول ثم معاملات المتجه الثاني. متجهات بالأعداد: النهاية ناقص البداية ثم ابحث عن مضاعف. أما النسبة عند تقاطع الخطوط فلها درس خاص. ونصيحة: أخرج عاملًا مشتركًا من كل متجه، فإذا تطابق ما داخل القوسين فقد وجدت المضاعف.

Look for the word prove, then what it asks you to prove.

You see	You do
Prove parallel	show one vector is k times the other
Prove a straight line	parallel and a shared point
Prove a trapezium	find one parallel pair of sides
A number $k$ to find	match the $a$ terms, then the $b$ terms
Vectors given as numbers	end minus start, then look for a multiple
Find a ratio where lines cross	Vector Geometry
Is it a multiple?	Multiplying a Vector by a Scalar

Key idea

Take out a common factor from each vector. If the brackets match, you have your multiple.

تدرّب على البراهين المتجهية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح البراهين المتجهية

1. What a Vector Proof Needs

2. Proving Three Points Are on a Straight Line

3. Proving Two Lines Are Parallel

4. Finding an Unknown Number (k)

5. Proving With Number Vectors

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على البراهين المتجهية

أسئلة امتحانات سابقة على البراهين المتجهية، محلولة ومشروحة بالعربي