LemmaraLemmaraEnglishابدأ مجاناً

شرح المتجهات

Vectors

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. The Arrow of Direction

أتقنتَ حساب المثلثات لإيجاد المسافات والزوايا، والآن نتعلم طريقة جديدة تمامًا لوصف الحركة. القاعدة: المتجه كمية لها مقدار واتجاه معًا. السرعة القياسية تخبرك كم أنت سريع، أما السرعة المتجهة فتخبرك كم أنت سريع وإلى أين. والمسافة تخبرك كم قطعت، أما الإزاحة فتخبرك كم قطعت وفي أي اتجاه. في هذا الباب ستكتب المتجهات أعمدة من الأعداد، وتجمعها وتطرحها، وتضربها في أعداد، وتستعملها لإثبات حقائق هندسية عن الأشكال. الكمية القياسية لها مقدار فقط، مثل مسافة أو زاوية أو زمن، أما المتجه فله مقدار واتجاه، مثل مسافة نحو الشمال أو قوة نحو الأسفل.

You have mastered trigonometry — finding distances and angles in triangles. Now let us learn a completely new way to describe movement.

Rule

A vector is a quantity that has both size AND direction. Speed tells you how fast, but velocity tells you how fast and which way. Distance tells you how far, but displacement tells you how far and in what direction.

In this topic, you will learn to write vectors as columns of numbers, add and subtract them, scale them, and use them to prove geometric facts about shapes. Vectors are the language of physics and engineering.

Scalars (plain numbers)Vectors (arrows)
Only have size — e.g. 5 km, 30°, 8 secondsHave size AND direction — e.g. 5 km north, 30 m/s east, a force of 8 N downward

2. What You Will Learn

ستبدأ بمتجهات الأعمدة: عددان أحدهما فوق الآخر يصفان حركة انزلاق. ثم تتعلم جمع المتجهات، كأنك تصل رحلة برحلة، وضربها في عدد لتمدّها أو تقصّرها، وإيجاد مقدارها أي طولها. ستتعلم: متجهات الأعمدة لوصف الحركة بعددين؛ ثم العمليات على المتجهات: الجمع والطرح والضرب في عدد؛ ثم متجهات الموضع، فلكل نقطة متجه خاص بها يبدأ من نقطة الأصل؛ وأخيرًا البراهين بالمتجهات: إثبات أن مستقيمين متوازيان، أو أن نقاطًا على استقامة واحدة، أو أن نقطة منتصف تقسم قطعة. والقانون الأساسي: المتجه من النقطة الأولى إلى الثانية يساوي متجه موضع الثانية ناقص متجه موضع الأولى، وبه تجد المتجه بين أي نقطتين.

You will start with column vectors — two numbers stacked vertically that describe a sliding movement. Then you will learn to add vectors (chaining journeys), multiply by scalars (stretching or shrinking), and find their magnitude (length).

Steps

  1. 1

    Column vectors: describe movement with two numbers.

  2. 2

    Vector arithmetic: add, subtract, and scale vectors.

  3. 3

    Position vectors: every point gets a unique vector from the origin.

  4. 4

    Vector proofs: show lines are parallel, points are collinear, or midpoints divide segments.

Formula

The workhorse formula:

This finds the vector between any two points using their position vectors.

تدرّب على المتجهات

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara