حل السؤال 7، 0580/43 مايو/يونيو 2021: المتباينات الخطية
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 43 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 10 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
يُظهر خط الأعداد قيم «س» بين عددين، مع دائرة مفرغة عند طرف ودائرة مظللة عند الطرف الآخر. المطلوب أن تكتب المتباينة بدلالة «س» التي يمثّلها الخط. لا يلزم عرض خطوات.
كيف تحلّه؟
نبدأ بالعدد الأصغر على اليسار ثم «س» ثم العدد الأكبر. عند الدائرة المفرغة نستخدم «أصغر من» لأن العدد غير مشمول، وعند الدائرة المظللة نستخدم «أصغر من أو يساوي» لأن العدد مشمول. الخطأ الشائع الخلط بين معنى الدائرتين.
- 1Open circle at −2: −2 < x
- 2Filled circle at 1: x ≤ 1
- 3−2 < x ≤ 1
Answer−2 < x ≤ 1
الجزء (bi) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
اكتب المقدار التربيعي على صورة مربع قوس مضافًا إليه عدد ثابت، وأوجد العددين المجهولين في هذه الصورة.
كيف تحلّه؟
خذ نصف معامل س فيكون هو العدد داخل القوس. فكّ مربع هذا القوس لترى أنه يعطي حدًّا ثابتًا مختلفًا عن الثابت الأصلي، ثم صحّح الفرق بطرح الزيادة. الخطأ الشائع: إضافة الفرق بدل طرحه.
- 1Halve the x coefficient: 4 ÷ 2 = 2, so use (x + 2)²
- 2(x + 2)² = x² + 4x + 4, which is 4 too many
- 3x² + 4x + 1 = (x + 2)² − 4 + 1
- 4= (x + 2)² − 3
Answer(x + 2)² − 3
الجزء (bii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
استخدم الصورة التي حصلت عليها في الجزء السابق (مربع قوس مضافًا إليه ثابت) لحلّ المعادلة التربيعية التي تساوي صفرًا. عبارة «استخدم إجابتك» تعني أن الطريقة مطلوبة من خلال تلك الصورة، لا بالقانون العام. الحلّان غير صحيحين، فقرّبهما إلى ثلاثة أرقام معنوية.
كيف تحلّه؟
عوّض بالصورة المكتملة واجعلها تساوي صفرًا، ثم انقل الثابت إلى الطرف الآخر ليبقى مربع القوس وحده. خذ الجذر التربيعي للطرفين مع تذكّر الإشارتين الموجبة والسالبة، ثم اطرح العدد الموجود داخل القوس. الخطأ الشائع: نسيان الجذر السالب فيضيع أحد الحلّين.
- 1(x + 2)² − 3 = 0, so (x + 2)² = 3
- 2x + 2 = ±√3, x = −2 ± √3
- 3x = −3.732… ≈ −3.73 or x = −0.2679… ≈ −0.268
Answerx = −3.73 or −3.732… and x = −0.268 or −0.2679…
الجزء (biii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
استخدم جوابك من الجزء السابق (إكمال المربع) لتكتب إحداثيي النقطة الصغرى على منحنى الدالة التربيعية المعطاة. «اكتب» تعني أن الجواب يُستنتج مباشرة دون حسابات طويلة.
كيف تحلّه؟
بعد إكمال المربع تصبح الدالة على صورة مربع زائد عدد ثابت. المربع لا يكون سالبًا أبدًا، فأصغر قيمة له هي الصفر، ويحدث ذلك عند قيمة س التي تجعل ما داخل القوس صفرًا. عندها تكون قيمة ص هي العدد الثابت. الخطأ الشائع: الخطأ في إشارة الإحداثي السيني.
- 1(x + 2)² ≥ 0, so the minimum is when x = −2, giving y = −3
- 2Minimum point (−2, −3)
Answer(−2, −3)
الجزء (biv) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب رسمًا تقريبيًا لمنحنى المعادلة على المحاور المعطاة، دون جدول قيم. «ارسم رسمًا تقريبيًا» تعني أن المهم هو الشكل الصحيح ومكانه بالنسبة إلى المحورين، لا الدقة في النقاط.
كيف تحلّه؟
معامل مربع «س» موجب، فالمنحنى على شكل حرف «يو». ضع «س» تساوي صفرًا لتعرف أين يقطع المحور الرأسي. ثم حدد موضع القاع وأين يقطع المحور الأفقي، وذلك بإكمال المربع أو بحل المعادلة. احرص على أن يظهر القاع ونقطتا التقاطع مع المحور الأفقي في الجهة الصحيحة من المحور الرأسي.
- 1Draw a U-shaped parabola with its minimum at (−2, −3), in the third quadrant
- 2It crosses the x-axis at about −3.73 and −0.27 (both negative)
- 3It crosses the y-axis at y = 1 (positive)
AnswerCorrect sketch: parabola with its minimum point in the third quadrant, both x-intercepts negative and a positive y-intercept
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المتباينات الخطية بالعربي
تدرّب على أسئلة المتباينات الخطية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara