حل السؤال 10، 4024/21 أكتوبر/نوفمبر 2023: محيط الدائرة ومساحتها
Cambridge O Level Mathematics 4024 · Paper 21 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 8 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
في الدائرة قطران يتقاطعان في المركز فيتكوّن مثلثان. المطلوب «أثبت» أن المثلثين «متطابقان»، أي متساويان تمامًا في الشكل والحجم، مع «ذكر سبب لكل عبارة».
كيف تحلّه؟
ضلعان في المثلث الأول يساويان ضلعين في الثاني لأنها كلها أنصاف أقطار في الدائرة نفسها. والزاويتان المحصورتان بينهما عند المركز متساويتان لأنهما متقابلتان بالرأس. إذن ضلعان والزاوية المحصورة بينهما متساوية، فالمثلثان متطابقان. الفخ الشائع هو عدم ذكر حالة التطابق في الخطوة الأخيرة.
- 1AO = DO (radii of the same circle)
- 2BO = CO (radii of the same circle)
- 3Angle AOB = angle DOC (vertically opposite angles)
- 4So triangle OAB is congruent to triangle ODC (SAS)
AnswerAO = DO (equal radii), BO = CO (equal radii), angle AOB = angle DOC (vertically opposite), so congruent (SAS)
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
دائرة معلوم قطرها، فيها قطران متقاطعان عند المركز، ووتران متقابلان معلوم طول أحدهما. الشكل المظلّل حدوده الوتران وقوسان صغيران. المطلوب أن تحسب الفرق بين محيط الدائرة ومحيط الشكل المظلّل، مع إظهار الخطوات.
كيف تحلّه؟
أوجد الزاوية عند المركز المقابلة للوتر المعلوم: نصّف المثلث المتساوي الساقين واستعمل الجيب مع نصف الوتر ونصف القطر، ثم ضاعف. الزاوية المجاورة على القطر تكمّلها إلى زاوية مستقيمة، وهي زاوية كل قوس من القوسين. الوتر الآخر يساوي الأول لأن الزاويتين المتقابلتين بالرأس متساويتان. احسب القوسين بكسر الزاوية من المحيط، واجمع معهما الوترين، ثم اطرح من محيط الدائرة. الخطأ الشائع استعمال الزاوية المقابلة للوتر لحساب القوسين.
- 1sin(1/2 × AOB) = 4.5/5, so angle AOB = 2 × sin⁻¹(0.9) = 128.31…°
- 2Angle AOD = 180 − 128.31… = 51.68…° = angle BOC
- 3Arcs DA + BC = 2 × 51.68…/360 × 10π = 9.02…
- 4Perimeter of shaded shape = 9 + 9 + 9.02… = 27.02…
- 5Difference = 10π − 27.02… = 4.395… ≈ 4.40
Answer4.39 or 4.40 or 4.392 to 4.398
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس محيط الدائرة ومساحتها بالعربي
تدرّب على أسئلة محيط الدائرة ومساحتها
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara