حل السؤال 3، 0580/42 مايو/يونيو 2023: تكوين المعادلات
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 42 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 13 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مثلث قائم الزاوية، وطولا الضلعين المحيطين بالزاوية القائمة مكتوبان بدلالة «س»، ومساحته معلومة. المطلوب «أثبت أن» المعادلة التربيعية المعطاة صحيحة، أي أن تصل إليها بخطوات كاملة واضحة، لا أن تحلّها.
كيف تحلّه؟
مساحة المثلث تساوي نصف القاعدة في الارتفاع، والضلعان المحيطان بالزاوية القائمة هما القاعدة والارتفاع. اكتب نصف حاصل ضرب القوسين يساوي المساحة، ثم اضرب الطرفين في اثنين للتخلص من النصف. فُكّ القوسين واجمع الحدود المتشابهة، وانقل العدد ليصبح الطرف الآخر صفرًا. الفخ الشائع هو نسيان النصف.
- 1Area = 1/2 × (x + 3)(2x + 5) = 60
- 2(x + 3)(2x + 5) = 120
- 32x² + 5x + 6x + 15 = 120
- 42x² + 11x − 105 = 0
Answer(x + 3)(2x + 5)/2 = 60, 2x² + 6x + 5x + 15 = 120, leading to 2x² + 11x − 105 = 0
الجزء (aii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
حلّ المعادلة التربيعية المعطاة بطريقة التحليل إلى عاملين، أي كتابتها على صورة حاصل ضرب قوسين يساوي صفرًا، ثم إيجاد قيمتي س. المطلوب استخدام التحليل تحديدًا، لا القانون العام.
كيف تحلّه؟
ابحث عن قوسين يعطي ضربهما المعادلة: الحدّان الأولان حاصل ضربهما معامل س تربيع، والحدّان الأخيران حاصل ضربهما الحد الثابت، ومجموع الضرب المتقاطع يساوي معامل س. اجعل كل قوس يساوي صفرًا وحلّه. انتبه: أحد الحلّين كسر عشري سالب، وهو لا يصلح طولًا في المثلث لاحقًا.
- 12x² + 11x − 105 = 0
- 2(2x + 21)(x − 5) = 0
- 3x = −10.5 or x = 5
Answer−10.5 and 5
الجزء (aiii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مثلث قائم الزاوية ضلعاه المحيطان بالزاوية القائمة مكتوبان بدلالة مجهول، وقيمة هذا المجهول معلومة من الجزء السابق. المطلوب حساب إحدى الزاويتين الحادتين في المثلث.
كيف تحلّه؟
نعوّض بقيمة المجهول لنجد طولي الضلعين عددًا. بالنسبة للزاوية المطلوبة يكون أحدهما مقابلًا والآخر مجاورًا، فنستعمل الظل ثم معكوسه في الآلة الحاسبة. الفخ الشائع: تبديل المقابل والمجاور، فيظهر قياس الزاوية الحادة الأخرى.
- 1x = 5 (a length must be positive): AC = 5 + 3 = 8 cm, AB = 2 × 5 + 5 = 15 cm
- 2tan ACB = 15/8
- 3Angle ACB = tan⁻¹(15/8) = 61.92…° ≈ 61.9°
Answer61.9 or 61.92 to 61.93
الجزء (bi) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المثلث الأول قائم الزاوية، وبعد التعويض بقيمة المجهول تعرف طولي ضلعي الزاوية القائمة. وهو يشابه مثلثًا ثانيًا مساحته معطاة. المطلوب إيجاد قياس أصغر زاوية في المثلث الثاني.
كيف تحلّه؟
المثلثات المتشابهة لها الزوايا نفسها، فلا تحتاج إلى المساحات هنا. احسب طولي ضلعي الزاوية القائمة بالتعويض، ثم استخدم الظل لإيجاد الزاوية المقابلة للضلع الأقصر، فهي الزاوية الأصغر. الفخ الشائع هو محاولة استخدام نسبة المساحتين، أو إيجاد الزاوية الأكبر بدل الأصغر.
- 1Similar triangles have the same angles
- 2Smallest angle = 90 − 61.92… = 28.07…° ≈ 28.1°
Answer28.1 or 28.07 to 28.08
الجزء (bii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المثلثان متشابهان، ومساحة كل منهما معلومة. المطلوب إيجاد طول أقصر ضلع في المثلث الثاني.
كيف تحلّه؟
اقسم مساحة المثلث الثاني على مساحة الأول لتحصل على معامل المساحة، ثم خذ جذره التربيعي لتحصل على معامل الطول. أقصر ضلع في المثلث الأول هو أقصر ضلعي الزاوية القائمة بعد التعويض، فاضربه في معامل الطول. الفخ الشائع هو ضرب الطول في معامل المساحة مباشرة دون أخذ الجذر.
- 1Area scale factor = 93.75 ÷ 60 = 1.5625
- 2Length scale factor = √1.5625 = 1.25
- 3Shortest side = 8 × 1.25 = 10 cm
Answer10
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس تكوين المعادلات بالعربي
تدرّب على أسئلة تكوين المعادلات
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara