حل السؤال 2، 0580/42 فبراير/مارس 2024: إيجاد الأضلاع المجهولة
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 42 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 8 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
في الشكل أربع نقاط على دائرة، وخطان مستقيمان يلتقيان خارج الدائرة، وزاويتان رمزهما س وص. المطلوب «اشرح لماذا» تتساوى الزاويتان، أي أن تكتب سلسلة من العبارات تصل إلى هذه النتيجة، ومع كل عبارة سببها الهندسي باسم النظرية.
كيف تحلّه؟
نربط الزاويتين بزاوية ثالثة داخل الشكل الرباعي الدائري. الزاوية ص ومجاورتها على خط مستقيم مجموعهما مئة وثمانون درجة، والزاوية س وتلك الزاوية نفسها متقابلتان في رباعي دائري فمجموعهما أيضًا مئة وثمانون درجة، لذلك س تساوي ص. الخطأ الشائع هو كتابة العبارات دون أسبابها، فيضيع جزء من الدرجات.
- 1y + angle BCD = 180° (angles on a straight line)
- 2x + angle BCD = 180° (opposite angles of a cyclic quadrilateral are supplementary)
- 3So x = y
Answery + angle BCD = 180 (angles on a straight line) and x + angle BCD = 180 (opposite angles of a cyclic quadrilateral are supplementary, or angles in opposite segments are supplementary), so x = y
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
نقاط أربع تقع على دائرة، ومستقيمان يلتقيان في نقطة خارج الدائرة فيتكوّن مثلثان. المطلوب «أثبت» أن المثلث الكبير يشابه المثلث الصغير، مستعينًا بما وجدته في الجزء السابق عن الزاويتين المرموز لهما.
كيف تحلّه؟
لاحظ أن الزاوية عند نقطة الالتقاء مشتركة بين المثلثين. ثم استخدم نتيجة الجزء السابق التي تساوي بين الزاويتين المرموز لهما، فيصبح لديك زوجان من الزوايا المتساوية. وبما أن مجموع زوايا المثلث ثابت، تتساوى الزاوية الثالثة أيضًا، فالمثلثان متشابهان. الفخ الشائع هو عدم ذكر سبب كل تساوٍ.
- 1Angle AXB = angle CXD (common angle)
- 2Angle BAX = angle DCX (x = y from part (a))
- 3So angle ABX = angle CDX (angles in a triangle add to 180°)
- 4All three angles are equal, so triangles ABX and CDX are similar
AnswerAngle AXB = angle CXD (common angle), angle BAX = angle DCX (x = y) and angle ABX = angle CDX, so all angles are equal and the triangles are similar
الجزء (ci) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
باستخدام التشابه الذي أثبتّه، وبمعرفة أطوال بعض القطع، المطلوب إيجاد طول الوتر الصغير الواقع على أحد المستقيمين داخل الدائرة.
كيف تحلّه؟
أوجد أولًا طول القطعة الكاملة على المستقيم الأول بجمع جزأيها. حدّد الرؤوس المتناظرة بدقة حسب ترتيب التشابه، ثم أوجد معامل التكبير بقسمة ضلع من المثلث الكبير على نظيره في الصغير. اضرب به الضلع المناظر لتجد طول القطعة الكاملة على المستقيم الثاني، ثم اطرح منها الجزء الخارجي المعلوم. الفخ الشائع هو مقابلة رؤوس غير متناظرة، لأن المثلثين معكوسا الاتجاه.
- 1AX = 15 + 9 = 24 cm; A corresponds to C, B to D
- 2Scale factor = AX/CX = 24/12 = 2
- 3BX = 2 × DX = 2 × 9 = 18 cm
- 4BC = 18 − 12 = 6 cm
Answer6
الجزء (cii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
أُعطيت أطوال بعض القطع على المستقيمين الخارجين من النقطة خارج الدائرة. المطلوب إكمال نسبة مساحة المثلث الكبير إلى مساحة المثلث الصغير، بكتابة العدد الناقص قبل الواحد.
كيف تحلّه؟
المثلثان متشابهان. أوجد معامل تكبير الأطوال بقسمة ضلع في المثلث الكبير على الضلع المناظر له في الصغير، وانتبه أن الضلع الكامل في الكبير هو مجموع القطعتين. ثم ربّع هذا المعامل لتحصل على نسبة المساحتين. الفخ: استعمال نسبة الأطوال بدل مربعها، أو مقارنة ضلعين غير متناظرين.
- 1Length scale factor = 2, so area scale factor = 2² = 4
- 2Ratio = 4 : 1
Answer4
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس إيجاد الأضلاع المجهولة بالعربي
تدرّب على أسئلة إيجاد الأضلاع المجهولة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara