حل السؤال 5، 0580/42 فبراير/مارس 2024: المعادلات الآنية بالحذف
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 42 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 20 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
أمامك مقدار تربيعي. «حلّل» يعني اكتبه على صورة حاصل ضرب قوسين.
كيف تحلّه؟
نبحث عن عددين حاصل ضربهما يساوي الحد الثابت، ومجموعهما يساوي معامل الحد الأوسط. نضع العددين في القوسين. انتبه إلى الإشارات، فالحد الثابت سالب لذا يكون أحد العددين موجبًا والآخر سالبًا.
- 1Two numbers with product −12 and sum −1: −4 and 3
- 2x² − x − 12 = (x − 4)(x + 3)
Answer(x−4)(x+3)
الجزء (aii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب تبسيط كسر جبري بسطه ومقامه من الدرجة الثانية. «بسّط» تعني كتابته في أبسط صورة بعد حذف ما هو مشترك بين البسط والمقام.
كيف تحلّه؟
نحلل البسط كفرق بين مربعين، ونحلل المقام الثلاثي إلى قوسين. نجد قوسًا مشتركًا فنحذفه، فيبقى كسر بسيط. الخطأ الشائع: حذف حدود مربعة من البسط والمقام مباشرة دون تحليل.
- 1x² − 16 = (x − 4)(x + 4)
- 2(x − 4)(x + 4)/((x − 4)(x + 3))
- 3= (x + 4)/(x + 3)
Answer(x+ 4)/(x+3)
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«بسّط» يعني اكتب المقدار في أبسط صورة. المقدار هو الفرق بين مربعي قوسين، فعليك فك كل مربع ثم طرح أحدهما من الآخر.
كيف تحلّه؟
نفك كل مربع على حدة بضرب القوس في نفسه. ثم نطرح المقدار الثاني كاملًا من الأول، فتتغير إشارة كل حد من حدوده. وأخيرًا نجمع الحدود المتشابهة. الخطأ الشائع تغيير إشارة الحد الأول فقط من المقدار المطروح، أو فك المربع بتربيع كل حد دون الحد الأوسط.
- 1(2x − 3)² = 4x² − 6x − 6x + 9 = 4x² − 12x + 9
- 2(x + 1)² = x² + 2x + 1
- 34x² − 12x + 9 − x² − 2x − 1
- 4= 3x² − 14x + 8
Answer3x²−14x + 8 or (x −4)(3x −2)
الجزء (c) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب طرح كسرين جبريين وكتابة الناتج كسرًا واحدًا في أبسط صورة. لست مطالبًا بحل معادلة، بل بتجميع الكسرين في كسر واحد.
كيف تحلّه؟
نوحّد المقامين بمقام مشترك هو حاصل ضربهما. نضرب بسط كل كسر في مقام الكسر الآخر، ثم نفك الأقواس ونطرح ونجمع الحدود المتشابهة. يمكن ترك المقام على صورة قوسين أو فكّه. الخطأ الشائع: نسيان توزيع إشارة السالب على كل حدود البسط الثاني.
- 1Common denominator (x + 1)(x − 3)
- 2[(2x + 4)(x − 3) − x(x + 1)]/((x + 1)(x − 3))
- 3= (2x² − 6x + 4x − 12 − x² − x)/((x + 1)(x − 3))
- 4= (x² − 3x − 12)/((x + 1)(x − 3))
Answer(x²−3x−12)/((x+1)(x−3)) or (x²−3x −12)/(x²−2x −3)
الجزء (d) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
أمامك حاصل ضرب ثلاثة أقواس. «فُكّ وبسّط» يعني: اضرب الأقواس كلها ثم اجمع الحدود المتشابهة لتحصل على مقدار واحد مرتب.
كيف تحلّه؟
نضرب القوسين الأولين ونبسط الناتج. ثم نضرب الناتج في القوس الثالث، كل حد في كل حد. بعدها نجمع الحدود المتشابهة. انتبه إلى معامل المتغير في القوس الثالث وإلى ضرب السالب في السالب.
- 1(x − 3)(x − 5) = x² − 8x + 15
- 2(x² − 8x + 15)(2x + 1) = 2x³ + x² − 16x² − 8x + 30x + 15
- 3= 2x³ − 15x² + 22x + 15
Answer2x³ − 15x² + 22x + 15
الجزء (e) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
لديك معادلتان: الأولى خطية والثانية فيها مربع س. المطلوب أن تحلهما معًا وتجد كل أزواج القيم (س و ص) التي تحققهما. يجب أن تُظهر كل خطوات الحل؛ وتوقّع أكثر من حل، وقد يكون بعضها كسورًا.
كيف تحلّه؟
من المعادلة الخطية نعبّر عن ص بدلالة س، أو نعبّر عن مضاعف ص المطلوب مباشرة، ثم نعوّض في المعادلة الثانية لنحصل على معادلة تربيعية في س. نرتّبها لتساوي صفرًا ونحللها إلى عاملين، فنحصل على قيمتين لـ س إحداهما كسر. نعوّض بكل قيمة في المعادلة الخطية لنجد ص المقابلة. الخطأ الشائع: الخطأ في الإشارات عند فك القوس، أو تقريب الكسور بدل كتابتها بدقة.
- 1From the first equation: 3y = x − 13, so 9y = 3(x − 13)
- 22x² − 3(x − 13) = 116
- 32x² − 3x − 77 = 0
- 4(x − 7)(2x + 11) = 0, so x = 7 or x = −5 1/2
- 5y = (x − 13)/3: x = 7 gives y = −2; x = −5 1/2 gives y = −18.5/3 = −6 1/6
- 6x = 7, y = −2 and x = −5 1/2, y = −6 1/6
Answerx = 7, y = −2 and x = −5 1/2, y = −6 1/6
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المعادلات الآنية بالحذف بالعربي
تدرّب على أسئلة المعادلات الآنية بالحذف
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara