حل السؤال 11، 0580/43 مايو/يونيو 2024: طول القوس
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 43 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 9 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الزاوية عند المركز مجهولة ورمزها س. طول القوس الصغير جزء معلوم من طول القوس الكبير. المطلوب أن «تثبت» أن قيمة س هي القيمة المذكورة، فاكتب كل خطوة بوضوح حتى تصل إليها.
كيف تحلّه؟
حوّل العلاقة بين القوسين إلى نسبة، ثم اجمع جزأي النسبة لتعرف كم جزءًا في المحيط الكامل. القوس الصغير يأخذ الجزء نفسه من الدورة الكاملة، فاضرب هذا الكسر في زاوية الدورة الكاملة. الخطأ الشائع ضرب الكسر المُعطى مباشرة في زاوية الدورة، مع أنه نسبة إلى القوس الكبير لا إلى المحيط كله.
- 1Minor arc : major arc = 3 : 7
- 2Minor arc is 3/10 of the circumference
- 3x = 3/10 × 360
- 4x = 108
Answer3/10 × 360 = 108
الجزء (bi) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
قطاع دائري معلوم نصف قطره وزاويته المركزية المنفرجة، ومساحة المثلث داخله تساوي نصف مساحة القطاع. المطلوب أن «تبيّن» أن هذا الشرط يؤدي إلى المعادلة المعطاة، أي أن تكتب خطوات جبرية تصل بها إلى المعادلة نفسها.
كيف تحلّه؟
نكتب مساحة المثلث بقانون نصف حاصل ضرب ضلعين في جيب الزاوية بينهما، والضلعان هنا نصفا قطر. ونكتب مساحة القطاع على أنها جزء من مساحة الدائرة نسبته الزاوية المركزية إلى الدورة الكاملة. ثم نساوي مساحة المثلث بنصف مساحة القطاع، ونحذف مربع نصف القطر من الطرفين، ونضرب لنتخلص من الكسور فنصل إلى المعادلة المطلوبة.
- 1Area of triangle = 1/2 r² sin y
- 2Area of sector = y/360 × πr²
- 31/2 r² sin y = 1/2 × y/360 × πr²
- 4Multiply by 720/r²: 360 sin y = πy
Answer1/2 r² sin y = 1/2 × y/360 × πr² leading to 360 sin y = πy
الجزء (bii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الزاوية عند المركز منفرجة، والجدول يقارن بين قيمتين لكل قيمة من قيم الزاوية: ثلاثمئة وستون مضروبة في جيب الزاوية، والنسبة التقريبية ط مضروبة في الزاوية. المطلوب «أكمل الجدول» بالخانات الفارغة، مع تقريب كل جواب إلى منزلتين عشريتين.
كيف تحلّه؟
لكل خانة فارغة عوّض بقيمة الزاوية في السطر نفسه: اضرب النسبة التقريبية ط في الزاوية للعمود الأخير، واضرب ثلاثمئة وستين في جيب الزاوية للعمود الأوسط. تأكد أن الآلة الحاسبة على وضع الدرجات، وقرّب إلى منزلتين عشريتين. الفخ: استخدام قيمة تقريبية بعيدة للنسبة ط.
- 1π × 108.6 = 341.18
- 2360 × sin 108.7° = 341.00
- 3π × 108.7 = 341.49
Answer108.6: πy = 341.18 or 341.22; 108.7: 360 sin y = 341.00, πy = 341.49 or 341.54
الجزء (biii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «أكمل العبارة»: اكتب قيمة الزاوية مقرّبة إلى منزلة عشرية واحدة التي تجعل القيمتين في الجدول متساويتين. استخدم الجدول الذي أكملته.
كيف تحلّه؟
قارن العمودين في كل سطر: في الأسطر الأولى العمود الأوسط أكبر، ثم ينقلب الأمر. القيمة المطلوبة تقع بين السطرين اللذين يتغير بينهما الترتيب. اختر من بينهما القيمة التي يكون عندها الفرق بين العمودين أصغر بكثير.
- 1At 108.6, 360 sin y − πy = +0.02; at 108.7 it is −0.49
- 2The sign changes and 108.6 is much closer to the root
- 3y = 108.6
Answer108.6
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس طول القوس بالعربي
تدرّب على أسئلة طول القوس
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara