حل السؤال 5، 0580/41 أكتوبر/نوفمبر 2021: محيط الدائرة ومساحتها
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 41 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 11 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
أربع نقاط على دائرة مركزها معلوم، والزاوية عند المركز معطاة، وزاوية أخرى عند إحدى النقاط. المطلوب حساب الزاوية المحيطية المحددة، مع كتابة سبب هندسي لإجابتك.
كيف تحلّه؟
ابحث عن الزاوية المركزية المرسومة على القوس نفسه الذي تقابله الزاوية المطلوبة. الزاوية المركزية ضعف الزاوية المحيطية المرسومة على القوس نفسه، فالمطلوبة نصفها. اكتب السبب: «الزاوية المركزية ضعف الزاوية المحيطية». الزاوية الأخرى المعطاة لا تلزم هنا.
- 1Angle CBD = 124 ÷ 2 = 62°
- 2Angle at the centre is twice the angle at the circumference
Answer62, angle at centre is twice angle at circumference
الجزء (aii) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
في الشكل دائرة معلوم مركزها، وأربع نقاط عليها، ومعطى زاوية عند المركز وزاوية عند نقطة على الدائرة. المطلوب «احسب» قياس زاوية في الشكل الرباعي الدائري، مع «سبب هندسي لكل خطوة»: اكتب اسم الخاصية بجانب كل حساب.
كيف تحلّه؟
المثلث الذي رأسه المركز وضلعاه نصفا قطرين متطابق الضلعين، فنطرح زاوية المركز من مجموع زوايا المثلث ونقسم الباقي على اثنين لنجد زاوية القاعدة. نجمعها مع الزاوية المعطاة لنحصل على زاوية الرباعي عند ذلك الرأس. ثم الزاويتان المتقابلتان في الرباعي الدائري متكاملتان، فنطرح من مئة وثمانين.
- 1OC = OD (radii), isosceles triangle: angle OCD = (180 − 124) ÷ 2 = 28°
- 2Angle BCD = 35 + 28 = 63°
- 3Angle BAD = 180 − 63 = 117° (opposite angles in a cyclic quadrilateral are supplementary)
Answer117, isosceles triangle, and opposite angles in a cyclic quadrilateral are supplementary
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
أربع نقاط على دائرة، وأحد الخطوط بينها قطر. معطى زاوية عند إحدى النقاط وطول وتر. المطلوب أن تحسب محيط الدائرة، مع ذكر أسباب الزوايا التي تستعملها.
كيف تحلّه؟
استعمل نظرية الزوايا المرسومة على القوس نفسه لتنقل الزاوية المعطاة إلى المثلث الذي يحتوي القطر والوتر المعلوم. الزاوية المقابلة للقطر قائمة لأنها مرسومة في نصف دائرة. في هذا المثلث القائم استعمل جيب التمام لإيجاد القطر، ثم المحيط هو باي مضروبًا في القطر. الخطأ الشائع ضرب القطر في ضعف باي كأنه نصف قطر.
- 1Angle PQS = angle PRS = 42° (angles in the same segment)
- 2Angle QPS = 90° (angle in a semicircle)
- 3QS = 5.9 ÷ cos 42° = 7.93… cm
- 4Circumference = π × 7.93… = 24.94… ≈ 24.9 cm
Answer24.9 or 24.94 to 24.95
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس محيط الدائرة ومساحتها بالعربي
تدرّب على أسئلة محيط الدائرة ومساحتها
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara