حل السؤال 6، 0580/42 أكتوبر/نوفمبر 2024: جمع وطرح المتجهات
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 42 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 13 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «احسب» ضعف المتجه الأول مطروحًا منه المتجه الثاني، واكتب الناتج متجهًا عموديًا.
كيف تحلّه؟
نضرب كل مركبة في المتجه الأول في اثنين، ثم نطرح منه المتجه الثاني مركبةً من مركبة. الفخ الشائع: طرح عدد سالب يصبح جمعًا.
- 12 × (3, −5) = (6, −10)
- 2(6, −10) − (2, −7) = (4, −3)
Answercolumn vector (4, −3)
الجزء (bi) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
معطاة إحداثيات نقطة البداية، ومعطى المتجه الذي يبدأ منها وينتهي عند نقطة ثانية. المطلوب إحداثيات النقطة الثانية.
كيف تحلّه؟
نقطة النهاية تساوي نقطة البداية مضافًا إليها المتجه. نجمع كل مركّبة مع الإحداثي المقابل لها. انتبه لجمع الأعداد السالبة.
- 1N = (2 + (−6), −5 + 4) = (−4, −1)
Answer(−4, −1)
الجزء (bii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
الخطان العموديان يعنيان «مقدار» المتجه، أي طوله. المطلوب حساب طول المتجه المعطى، مقرّبًا لثلاثة أرقام معنوية إن لم يكن عددًا صحيحًا.
كيف تحلّه؟
نربّع كل مركّبة من مركّبتي المتجه ونجمع المربعين، ثم نأخذ الجذر التربيعي، كما في نظرية فيثاغورس. مربع العدد السالب موجب. نقرّب الناتج لثلاثة أرقام معنوية.
- 1|MN| = √((−6)² + 4²) = √52
- 2= 7.211… ≈ 7.21
Answer7.21 or 7.211…
الجزء (cia) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
لديك شبه منحرف أحد رؤوسه نقطة الأصل، ومعطى متجها الضلعين الخارجين منها. المطلوب المتجه بين طرفي هذين الضلعين بدلالة المتجهين، في أبسط صورة. «اكتب» تعني أنه لا يلزم عرض خطوات.
كيف تحلّه؟
ارجع من نقطة البداية إلى الأصل، وهذا عكس المتجه الأول فيأخذ إشارة سالبة. ثم اخرج من الأصل على الضلع الآخر بمتجهه. اجمع الجزأين.
- 1AB = AO + OB = −a + 2c = 2c − a
Answer2c − a
الجزء (cib) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
نفس شبه المنحرف: الضلع السفلي ضعف الضلع العلوي الموازي له. المطلوب المتجه من الرأس العلوي البعيد إلى طرف الضلع السفلي، بدلالة المتجهين وفي أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
الضلع العلوي يوازي الضلع السفلي وهو نصفه، فمتجهه نصف متجه الضلع السفلي. اكتب المتجه من الأصل إلى الرأس العلوي البعيد بالصعود ثم السير على الضلع العلوي. المتجه المطلوب هو متجه نقطة النهاية من الأصل ناقص متجه نقطة البداية من الأصل. انتبه لتوزيع الإشارة السالبة على القوس.
- 1AC = 1/2 OB = c, so OC = a + c
- 2CB = OB − OC = 2c − (a + c) = c − a
Answerc − a
الجزء (cic) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
في شبه المنحرف، القاعدة ضعف الضلع العلوي الموازي لها، ومتجها الضلعين من نقطة الأصل معلومان. نقطة على القطر المائل تقسمه بنسبة معطاة. المطلوب «اكتب» متجه هذه النقطة من نقطة الأصل بدلالة الرمزين، في أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
نكتب متجه القطر من الرأس الأول إلى نهاية القاعدة كفرق بين المتجهين. نأخذ منه الجزء المناسب: الجزء الأول من النسبة على مجموع الأجزاء. نبدأ من نقطة الأصل إلى الرأس الأول ونضيف هذا الجزء، ثم نجمع الحدود ويمكن إخراج عامل مشترك.
- 1AP = 4/5 AB = 4/5(2c − a)
- 2OP = a + 4/5(2c − a) = 1/5 a + 8/5 c
- 3OP = (1/5)(a + 8c)
Answer(1/5)(a + 8c)
الجزء (cid) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
نقطة على الضلع العلوي تبعد عن بدايته كسرًا معطى منه. المطلوب «اكتب» المتجه من هذه النقطة إلى النقطة على القطر، بدلالة الرمزين، في أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
نلاحظ أولًا أن الضلع العلوي نصف القاعدة، فمتجهه معروف. من النقطة على الضلع العلوي نعود إلى بدايته، بإشارة سالبة، ثم نسير على القطر الجزء الذي وجدناه في الجزء السابق. نجمع الحدود ونخرج العامل المشترك.
- 1QA = −4/5 AC = −4/5 c
- 2QP = QA + AP = −4/5 c + 4/5(2c − a)
- 3QP = 4/5 c − 4/5 a = (4/5)(−a + c)
Answer(4/5)(−a + c)
الجزء (cii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب أن تستعمل إجاباتك السابقة لتكتب «عبارتين» عن العلاقة بين القطعتين المذكورتين: واحدة عن اتجاههما وأخرى عن طوليهما.
كيف تحلّه؟
نكتب متجه القطعة الثانية بدلالة الرمزين، فنجد أن متجه القطعة الأولى مضاعف له. كون أحدهما مضاعفًا للآخر يعني أنهما متوازيان، والمضاعف نفسه يعطي العلاقة بين طوليهما. الفخ الشائع: ذكر عبارة واحدة فقط.
- 1QP = (4/5)(c − a) and CB = c − a
- 2So QP is a multiple of CB: QP is parallel to CB and QP = (4/5)CB
AnswerQP is parallel to CB and QP = (4/5)CB
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس جمع وطرح المتجهات بالعربي
تدرّب على أسئلة جمع وطرح المتجهات
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara