حل السؤال 7، 0580/42 أكتوبر/نوفمبر 2024: قانون جيب التمام
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 42 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 20 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
في الشكل حقل على هيئة شكل رباعي، يقسمه ممر إلى مثلثين، ومعطى أطوال وزوايا. المطلوب «أثبت أن» زاوية محددة في أحد المثلثين لها القياس المكتوب في السؤال، أي أن تبين بالحساب كيف نصل إليه.
كيف تحلّه؟
نستخدم المثلث الذي يحتوي الزاويتين المعطاتين والزاوية المطلوبة، ونطرح الزاويتين المعطاتين من مجموع زوايا المثلث. اكتب الحساب كاملًا ولا تكتفِ بإعادة كتابة القياس المعطى. الأطوال لا تلزم في هذا الجزء.
- 1Angles in triangle BCD add to 180°
- 2Angle CBD = 180 − 60 − 39 = 81°
Answer180 − 60 − 39 = 81
الجزء (aii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الحقل رباعي يقطعه ممر، ومعلوم في المثلث الثاني طول الممر وزاويتان. المطلوب: احسب طول الضلع المحدد، مع إظهار خطواتك وتقريب الناتج.
كيف تحلّه؟
نجد الزاوية الثالثة في المثلث بطرح الزاويتين من مئة وثمانين، وهي المقابلة للضلع المطلوب. ثم نطبّق قاعدة الجيب: الضلع المطلوب على جيب الزاوية المقابلة له يساوي الممر على جيب الزاوية المقابلة له. الفخ هو استخدام إحدى الزاويتين المعلومتين على أنها المقابلة للضلع المطلوب.
- 1CD/sin 81° = 129/sin 60°
- 2CD = 129 × sin 81° ÷ sin 60°
- 3CD = 147.1… ≈ 147 m
Answer147 or 147.1…
الجزء (aiii) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
في المثلث الأول من الحقل معلومة الأضلاع الثلاثة. المطلوب: «أثبت أن» الزاوية المحددة تساوي القيمة المعطاة مقرّبة إلى منزلة عشرية واحدة. اكتب كل خطوة وأظهر قيمة أدق قبل التقريب.
كيف تحلّه؟
بما أن الأضلاع الثلاثة معلومة نطبّق قاعدة جيب التمام: جيب تمام الزاوية يساوي مجموع مربعي الضلعين المحيطين بها ناقص مربع الضلع المقابل، مقسومًا على ضعف حاصل ضرب الضلعين المحيطين. ثم نستخدم معكوس جيب التمام ونكتب الزاوية بأكثر من منزلة قبل التقريب. الفخ هو وضع الضلع المقابل في المكان الخطأ.
- 172² = 85² + 129² − 2 × 85 × 129 × cos ABD
- 2cos ABD = (85² + 129² − 72²)/(2 × 85 × 129) = 18 682/21 930
- 3cos ABD = 0.8518…
- 4Angle ABD = 31.58… = 31.6° (1 d.p.)
Answer31.58…
الجزء (aiv) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «أقصر مسافة» من الركن المحدد إلى الممر، وهي طول العمود النازل من ذلك الركن على الممر. «أوجد» تعني احسب مع إظهار الخطوات.
كيف تحلّه؟
ننزل العمود فيتكوّن مثلث قائم وتره الضلع الخارج من الركن إلى رأس الزاوية التي أثبتّها في الجزء السابق. العمود يساوي هذا الوتر مضروبًا في جيب تلك الزاوية.
- 1The shortest distance is the perpendicular from A to BD
- 2d = 85 × sin 31.6°
- 3d = 44.5 m
Answer44.5 or 44.51 to 44.54
الجزء (av) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
حقل رباعي فيه ممر، ومعلوم أن إحدى النقاط تقع شمال أخرى تمامًا، ومعلوم أطوال أضلاع المثلث الأول وزاويتان في المثلث الثاني. المطلوب إيجاد اتجاه النقطة الشمالية من النقطة المحددة، أي الزاوية المقاسة من الشمال في اتجاه عقارب الساعة.
كيف تحلّه؟
نوجد الزاوية الثالثة في المثلث الثاني من مجموع زوايا المثلث، ونوجد زاوية المثلث الأول عند النقطة الشمالية بقاعدة جيب التمام. خط الشمال عند النقطة الشمالية هو امتداد الضلع الرأسي، فنطرح الزاويتين من زاوية مستقيمة لنحصل على الزاوية بين الشمال والضلع. ثم نضيف نصف دورة لنحصل على الاتجاه المعاكس المطلوب.
- 1Triangle BCD: angle DBC = 180 − 60 − 39 = 81°
- 2Cosine rule: cos ABD = (85² + 129² − 72²)/(2 × 85 × 129), so ABD = 31.6°
- 3North at B is straight on from AB, so NBC = 180 − 81 − 31.6 = 67.4°
- 4Bearing of B from C = 180 + 67.4 = 247.4… ≈ 247°
Answer247 or 247.4…
الجزء (avi) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الحقل مكوّن من مثلثين، وتُزرع فيه أشجار بعدد معلوم لكل هكتار، والهكتار عشرة آلاف متر مربع كما هو مكتوب. المطلوب حساب العدد الكلي للأشجار في الحقل، مع عرض خطواتك.
كيف تحلّه؟
أولًا نحسب مساحة كل مثلث بقاعدة نصف حاصل ضرب ضلعين في جيب الزاوية المحصورة بينهما، مستعملين الأضلاع والزوايا التي وجدتها في الأجزاء السابقة. نجمع المساحتين لنحصل على مساحة الحقل بالمتر المربع، ثم نقسم على عشرة آلاف لنحوّلها إلى هكتارات. وأخيرًا نضرب عدد الهكتارات في عدد الأشجار لكل هكتار ونكتب الناتج عددًا صحيحًا. الخطأ الشائع هو التقريب المبكر في الخطوات الوسطى.
- 1Area ABD = 1/2 × 85 × 129 × sin 31.58° = 2871.3 m²
- 2Area BCD = 1/2 × 129 × 147.12 × sin 39° = 5971.9 m²
- 3Total area = 8843.2 m² = 0.884 32 hectares
- 4Trees = 8843.2/10 000 × 1100 = 972.7…, so 972 or 973 trees
Answer972 or 973
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مساحة مستطيل معطاة بالسنتيمتر المربع ومقرّبة لأقرب مئة، وطوله مقرّب لأقرب عشرة سنتيمترات. المطلوب حساب الحد الأعلى لعرض المستطيل، أي أكبر عرض ممكن، مع إظهار الخطوات.
كيف تحلّه؟
العرض يساوي المساحة مقسومة على الطول. ليكون العرض أكبر ما يمكن، اقسم الحد الأعلى للمساحة على الحد الأدنى للطول. انتبه أن وحدتي التقريب مختلفتان: نصف المئة للمساحة ونصف العشرة للطول. الفخ الشائع هو قسمة الحد الأعلى على الحد الأعلى.
- 1Upper bound of area = 9400 + 50 = 9450 cm²
- 2Lower bound of length = 80 − 5 = 75 cm
- 3Upper bound of width = 9450 ÷ 75 = 126 cm
Answer126
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس قانون جيب التمام بالعربي
تدرّب على أسئلة قانون جيب التمام
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara