حل السؤال 6، 0606/22 أكتوبر/نوفمبر 2025: متجهات السرعة والأجسام المتحركة
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 22 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 8 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
جسيم يتحرك في خط مستقيم بسرعة قياسية معلومة في اتجاه متجه معلوم. المطلوب متجه سرعته.
كيف تحلّه؟
احسب مقدار متجه الاتجاه بنظرية فيثاغورس. متجه السرعة هو متجه الاتجاه مضروبًا في نسبة السرعة المعطاة إلى هذا المقدار. الفخ: ضرب متجه الاتجاه في السرعة مباشرة.
- 1|(5, −12)| = √(5² + (−12)²) = 13
- 2Velocity = (26/13)(5, −12) = (10, −24)
Answercolumn vector (10, −24)
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
عند الزمن صفر يمر الجسيم بنقطة متجه موضعها معلوم. المطلوب «اكتب مباشرة» متجه موضعه عند أي زمن.
كيف تحلّه؟
الموضع يساوي الموضع الابتدائي زائد الزمن مضروبًا في متجه السرعة الذي وجدته. اكتبه متجهًا واحدًا بمركبتين.
- 1Position = initial position + t × velocity
- 2r = (3, 6) + t(10, −24) = (3 + 10t, 6 − 24t)
Answercolumn vector (3, 6) + t × column vector (10, −24), i.e. (3 + 10t, 6 − 24t)
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
جسيم ثانٍ متجه موضعه معطى بدلالة الزمن، والمسافة بين الجسيمين عند أي زمن رمز لها. المطلوب «بيّن أن» مربع المسافة معادلة تربيعية في الزمن، وأوجد معاملاتها الصحيحة.
كيف تحلّه؟
اطرح متجهي الموضع لتحصل على المتجه بين الجسيمين، ثم مربع المسافة هو مجموع مربعي مركبتيه. فك المربعين واجمع الحدود المتشابهة. الفخ: أخطاء الإشارات عند الطرح.
- 1PQ = (8t − 5, 2 − 25t) − (3 + 10t, 6 − 24t) = (−8 − 2t, −4 − t)
- 2d² = (8 + 2t)² + (4 + t)²
- 3= 64 + 32t + 4t² + 16 + 8t + t²
- 4d² = 5t² + 40t + 80
Answerd² = 5t² + 40t + 80 (m = 5, n = 40, r = 80)
الجزء (d) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» أي باستخدام صيغة مربع المسافة من الجزء السابق، بيّن أن الجسيمين لا يتصادمان أبدًا بعد بدء الحركة.
كيف تحلّه؟
لاحظ أن المقدار التربيعي يمكن كتابته عددًا مضروبًا في مربع كامل. التصادم يعني أن المسافة صفر، فابحث متى يحدث ذلك، وهل هذا الزمن مسموح به وقد بدأ الزمن من الصفر. اكتب الاستنتاج.
- 1d² = 5t² + 40t + 80 = 5(t + 4)²
- 2d = 0 only when t = −4, which is not allowed since t ≥ 0; so d > 0 for t ≥ 0 and they do not collide
Answerd² = 5(t + 4)² = 0 only when t = −4, but t ≥ 0, so d > 0 and P and Q do not collide
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس متجهات السرعة والأجسام المتحركة بالعربي
تدرّب على أسئلة متجهات السرعة والأجسام المتحركة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara