حل السؤال 9، 0606/12 فبراير/مارس 2026: متجهات الوحدة والمركبتان i, j
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 12 (Non-calculator) · بدون آلة حاسبة · 10 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
جسيمان يبدآن الحركة في اللحظة نفسها: الأول من الأصل، والثاني من نقطة معلومة، ولكل منهما متجه سرعة ثابت. المطلوب «اكتب» متجه موضع الجسيم الثاني بعد زمن.
كيف تحلّه؟
متجه الموضع يساوي متجه نقطة البداية زائد الزمن مضروبًا في متجه السرعة. اكتبه كمتجه عمودي واحد بجمع المركبتين الأفقيتين معًا والرأسيتين معًا.
- 1Position = start + t × velocity
- 2r_B = (−3, 4) + t(4, −2) = (−3 + 4t, 4 − 2t)
Answercolumn vector (−3, 4) + t × column vector (4, −2), i.e. column vector (−3 + 4t, 4 − 2t)
الجزء (aii) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الجسيم الأول يبدأ من الأصل والثاني من نقطة أخرى، ولكل منهما سرعة ثابتة. المطلوب «حدّد» هل يتصادم الجسيمان أم لا، مع التعليل.
كيف تحلّه؟
اكتب موضع الأول بالطريقة نفسها. يتصادمان إذا تساوى الموضعان في اللحظة نفسها. ساوِ المركبة الأفقية لتجد زمنًا، والمركبة الرأسية لتجد زمنًا. إذا اختلف الزمنان فلا تصادم. اكتب الاستنتاج صراحة مع السبب.
- 1Position of A: t(2, 1) = (2t, t)
- 2Collide if (2t, t) = (−3 + 4t, 4 − 2t) for the same t
- 3x: 2t = −3 + 4t gives t = 3/2
- 4y: t = 4 − 2t gives t = 4/3
- 5The values of t differ, so the particles do not collide
AnswerThe particles do not collide: equating components gives t = 3/2 and t = 4/3, which are inconsistent
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
ثلاث نقاط لها متجهات موضع، والنقطة الثالثة مجهولة المركبتين وتقع على المستقيم الواصل بين الأوليين، وطول المتجه من النقطة الثانية إليها جذر خمسة. المطلوب القيم الممكنة للمركبتين.
كيف تحلّه؟
أوجد المتجه من النقطة الأولى إلى الثانية واحسب طوله، ثم قارنه بالطول المعطى لتعرف النسبة بينهما. المتجه المطلوب يساوي هذه النسبة من متجه المستقيم، في أحد الاتجاهين. أضفه إلى متجه النقطة الثانية. الفخ: نسيان الاتجاه المعاكس فتضيع إجابة.
- 1QR = (−i + 4j) − (3i + 2j) = −4i + 2j
- 2|QR| = √(16 + 4) = 2√5, so |RS| is half of |QR|
- 3RS = ±(1/2)QR = ±(−2i + j)
- 4OS = OR + RS: (−1 − 2)i + (4 + 1)j = −3i + 5j, or (−1 + 2)i + (4 − 1)j = i + 3j
- 5a = 1, b = 3 or a = −3, b = 5
Answera = 1, b = 3 or a = −3, b = 5
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس متجهات الوحدة والمركبتان i, j بالعربي
تدرّب على أسئلة متجهات الوحدة والمركبتان i, j
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara