حل السؤال 7، 4024/21 مايو/يونيو 2020: الزوايا الداخلية والخارجية للمضلعات
Cambridge O Level Mathematics 4024 · Paper 21 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 9 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
في الشكل مستقيم، وعليه جزء من مثمّن منتظم ورباعي يشترك معه في ضلع، وزوايا الرباعي مكتوبة بدلالة المجهول «س». المطلوب أن تكوّن معادلة في «س» ثم تحلها لتجد قيمته، مع عرض خطواتك.
كيف تحلّه؟
أولًا نجد زاوية الرباعي الواقعة على المستقيم: الزاوية الداخلية للمثمّن وهذه الزاوية تقعان على خط مستقيم، فمجموعهما مئة وثمانون. ثم نكتب معادلة: مجموع زوايا الرباعي الأربع يساوي ثلاثمئة وستين درجة. نجمع الحدود المتشابهة ونحل المعادلة. الخطأ الشائع هو نسيان الزاوية الرابعة غير المعلَّمة.
- 1Exterior angle of a regular octagon = 360 ÷ 8 = 45°, so the quadrilateral's angle on AB is 180 − 135 = 45°
- 2Angles in a quadrilateral: 3x + 103 + x + 20 + 45 = 360
- 34x + 168 = 360
- 44x = 192
- 5x = 48
Answer48
الجزء (bi) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
في الشكل دائرة معلوم مركزها، وقطر، وعدة أوتار، وزاوية معلومة. المطلوب إيجاد قياس الزاوية المحددة، مع ذكر سبب هندسي لكل خطوة من خطوات الحل.
كيف تحلّه؟
الزاوية المعلومة والزاوية عند طرف القطر تقابلان الوتر نفسه، فهما متساويتان لأنهما في القطعة نفسها. الزاوية المرسومة في نصف دائرة قائمة. ثم مجموع زوايا المثلث يعطي الزاوية المطلوبة. لاحظ أن معلومتي التوازي وتساوي الضلعين لا تُستعملان في هذا الجزء.
- 1angle PTQ = angle PSQ = 32° (angles in the same segment)
- 2angle TPQ = 90° (angle in a semicircle, TQ is a diameter)
- 3angle PQT = 180 − 90 − 32 = 58° (angles in a triangle)
Answer58
الجزء (bii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
في الشكل دائرة عليها خمس نقاط، ووتران متوازيان، ووتران متساويان في الطول (عليهما علامات). المطلوب إيجاد قياس الزاوية المذكورة في السؤال، وهي زاوية في المثلث المكوّن من الوترين المتساويين والوتر الواصل بين طرفيهما.
كيف تحلّه؟
الوتر الواصل بين الوترين المتوازيين قاطع لهما، فالزاوية المعلومة تبادل زاوية في المثلث فتساويها. المثلث متساوي الساقين لأن الوترين متساويان، فزاويتا قاعدته متساويتان. نطرح زاويتي القاعدة من مئة وثمانين لنجد الزاوية المطلوبة.
- 1angle SQR = angle PSQ = 32° (alternate angles, PS parallel to QR)
- 2angle QSR = 32° (triangle QRS is isosceles, QR = RS)
- 3angle QRS = 180 − 32 − 32 = 116°
Answer116
الجزء (biii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
في الشكل دائرة معلوم مركزها، وخمس نقاط عليها، وقطر، ووتران متوازيان، ووتران متساويان، ومعطى زاوية واحدة. المطلوب «أوجد» قياس الزاوية بين القطر ووتر عند أحد طرفي القطر.
كيف تحلّه؟
الزاوية المطلوبة جزء من زاوية الرباعي الدائري عند ذلك الرأس. نجد زاوية الرباعي الكاملة من الزاوية المقابلة لها، لأن الزاويتين المتقابلتين متكاملتان، والمقابلة نحصل عليها من التوازي والوترين المتساويين. ثم نطرح منها الجزأين الآخرين: أحدهما من الزوايا المتبادلة بين المتوازيين، والآخر من المثلث الذي فيه زاوية قائمة في نصف الدائرة. هذا الجزء مبني على الأجزاء السابقة من السؤال.
- 1angle PSR = 32 + 32 = 64°, so angle PQR = 180 − 64 = 116° (opposite angles of a cyclic quadrilateral)
- 2From earlier parts, angle PQT = 58° and angle SQR = 32°
- 3angle TQS = angle PQR − angle PQT − angle SQR
- 4angle TQS = 116 − 58 − 32 = 26°
Answer26
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الزوايا الداخلية والخارجية للمضلعات بالعربي
تدرّب على أسئلة الزوايا الداخلية والخارجية للمضلعات
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara