حل السؤال 19، 4MA1/1H نوفمبر 2021: المحيط والمساحة والحجم المركب
Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A 4MA1 · Paper 1H (Higher) · بالآلة الحاسبة · 6 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
شكل خماسي مكوّن من مستطيل فوقه مثلث متساوي الأضلاع، وطولا المستطيل مكتوبان بالرموز، ومحيط الشكل معطى. المطلوب إثبات أن مساحة الشكل تُكتب في الصورة المعطاة بدلالة طول الضلع وحده. «أثبت» تعني أن تكتب كل خطوة جبرية حتى تصل إلى الصورة.
كيف تحلّه؟
اكتب المحيط بدلالة البعدين، مع ملاحظة أن ضلعي المثلث يساويان ضلع المستطيل المشترك. من معادلة المحيط عبّر عن البعد الآخر بدلالة الضلع. مساحة المستطيل حاصل ضرب البعدين، ومساحة المثلث المتساوي الأضلاع نصف مربع الضلع في جيب زاوية الستين. اجمع، ووحّد المقام، وأخرج العامل المشترك لتصل إلى الصورة.
- 1Perimeter: x + y + y + x + x = 3x + 2y = 100, so y = (100 − 3x)/2
- 2Rectangle area = xy = x(100 − 3x)/2
- 3Equilateral triangle area = 1/2 × x × x × sin 60° = (√3/4)x²
- 4R = x(100 − 3x)/2 + (√3/4)x² = (200x − 6x² + √3x²)/4
- 5R = (x/4)(200 − [6 − √3]x)
AnswerR = x(200 − 6x + x√3)/4
الجزء (bi) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لديك تعبير معطى في الجزء السابق من السؤال. المطلوب قيمة المتغير التي تجعل هذا التعبير أكبر ما يمكن، وكتابتها على صورة كسر: عدد صحيح مقسوم على (عدد صحيح مطروحًا منه الجذر التربيعي لثلاثة).
كيف تحلّه؟
نكتب التعبير كحدين: حد فيه المتغير وحد فيه مربعه، ونعامل معامل المربع (الذي فيه الجذر) كعدد ثابت. نشتق ونساوي المشتقة بالصفر، ثم نعزل المتغير ونختصر. لا تحوّل الجذر إلى عدد عشري لأن الجواب مطلوب بصورة دقيقة.
- 1R = (200x − (6 − √3)x²)/4
- 2dR/dx = (200 − 2(6 − √3)x)/4 = 0
- 3200 = 2(6 − √3)x
- 4x = 100/(6 − √3)
Answer100/(6 − √3)
الجزء (bii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب أن تشرح لماذا تعطي قيمة المتغير التي وجدتها أكبر قيمة للتعبير، وليس أصغر قيمة. «اشرح» تعني أن تكتب السبب بكلمات.
كيف تحلّه؟
التعبير دالة تربيعية في المتغير. معامل مربع المتغير سالب لأن العدد ستة أكبر من الجذر التربيعي لثلاثة، فالمنحنى على شكل قوس مقلوب له قمة. لذلك نقطة الدوران الوحيدة قيمة عظمى.
- 1R = (200x − (6 − √3)x²)/4 is a quadratic in x
- 26 − √3 is positive, so the x² coefficient is negative
- 3The graph is an upside-down U, so the turning point is a maximum
AnswerThe graph of R is a quadratic in x with a negative coefficient of x², so it has a maximum point.
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المحيط والمساحة والحجم المركب بالعربي
تدرّب على أسئلة المحيط والمساحة والحجم المركب
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara