حل السؤال 9، 4PM1/01R يناير 2023: المساحة السطحية للهرم
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1R · بالآلة الحاسبة · 13 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
هرم قائم قاعدته مربعة طول ضلعها اثنا عشر سنتيمترًا، وأحرفه الجانبية متساوية وطولها مجهول. المطلوب الطول الدقيق لقطر القاعدة.
كيف تحلّه؟
القطر وتر في مثلث قائم ضلعاه ضلعا المربع، فطبّق نظرية فيثاغورس. اترك الجواب جذرًا مبسّطًا لأن المطلوب قيمة «دقيقة».
- 1AC² = 12² + 12² = 288
- 2AC = √288 = 12√2 cm
AnswerAC = 12√2 cm
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
الزاوية بين كل حرف جانبي وقطر القاعدة ثلاثون درجة. «بيّن أن» طول الحرف الجانبي أربعة أمثال الجذر التربيعي لستة.
كيف تحلّه؟
رأس الهرم فوق مركز القاعدة، والمسافة من المركز إلى الركن نصف القطر. في المثلث القائم المكوّن من الحرف ونصف القطر والارتفاع: جيب تمام ثلاثين درجة يساوي نصف القطر على الحرف. عوّض بالقيمة الدقيقة لجيب تمام ثلاثين وبسّط الجذر. الفخ: استخدام القطر كله.
- 1Let X be the centre of the base: AX = 6√2
- 2In triangle OAX: cos 30° = AX/OA
- 3x = 6√2/cos 30° = 6√2 × 2/√3
- 4x = √96 = 4√6
Answerx = 4√6 shown
الجزء (c) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب المساحة الكلية لسطح الهرم: الأوجه المثلثية الأربعة والقاعدة المربعة، لأقرب سنتيمتر مربع.
كيف تحلّه؟
كل وجه مثلث متساوي الساقين، ساقاه حرفان جانبيان وقاعدته ضلع المربع. ارتفاعه بفيثاغورس: مربع الحرف ناقص مربع نصف الضلع. مساحته نصف القاعدة في هذا الارتفاع. اضرب في أربعة وأضف مساحة القاعدة. الفخ: نسيان القاعدة المربعة.
- 1cos AOB = (96 + 96 − 144)/(2 × 96) → AOB = 75.522…°
- 2Area OAB = ½ × 96 × sin 75.522…° = 46.4758…
- 3(or slant height √(96 − 36) = 2√15, area = ½ × 12 × 2√15 = 12√15)
- 4Total = 4 × 46.4758… + 12² = 329.90…
- 5= 330 cm² (nearest cm²)
Answer330 cm²
الجزء (d) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب الزاوية المنفرجة بين وجهين متجاورين من أوجه الهرم يشتركان في حرف جانبي، لأقرب درجة.
كيف تحلّه؟
من الركنين المجاورين أنزل عمودين على الحرف المشترك؛ يلتقيان في النقطة نفسها لأن الوجهين متطابقان. الزاوية بين العمودين هي المطلوبة. أوجد زاوية القاعدة في الوجه المثلثي، ثم طول العمود باستخدام الجيب. في المثلث الذي ضلعاه العمودان وقاعدته قطر المربع، طبّق قانون جيب التمام. الفخ: استخدام ضلع المربع بدل القطر.
- 1Angle OBC = (180° − 75.522°)/2 = 52.239°
- 2Let Y on OB be the foot of the perpendicular from A (and from C): AY = CY = 12 sin 52.239° = 9.4868…
- 3cos AYC = (9.4868² + 9.4868² − 288)/(2 × 9.4868²)
- 4AYC = 126.87… ≈ 127°
Answer127°
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المساحة السطحية للهرم بالعربي
تدرّب على أسئلة المساحة السطحية للهرم
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara