حل السؤال 10، 4PM1/01R يناير 2023: حل المعادلات المثلثية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1R · بالآلة الحاسبة · 16 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«باستخدام القوانين في الصفحة الثانية» «بيّن أن» جيب تمام الفرق بين زاويتين ناقص جيب تمام مجموعهما يساوي ضعف حاصل ضرب جيبيهما.
كيف تحلّه؟
اكتب قانوني جيب تمام الفرق وجيب تمام المجموع. عند الطرح يختفي حاصل ضرب جيبي التمام، ويبقى حاصل ضرب الجيبين مرتين. الفخ: الخطأ في الإشارة الوسطى لأحد القانونين.
- 1cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B
- 2cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B
- 3Subtract: cos(A − B) − cos(A + B) = 2 sin A sin B
Answercos(A − B) − cos(A + B) = 2 sin A sin B shown
الجزء (b) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» «بيّن أن» جيب تمام خمسة أمثال ثيتا ناقص جيب تمام تسعة أمثالها يساوي ضعف جيب سبعة أمثالها في جيب ضعفها.
كيف تحلّه؟
اجعل الفرق بين الزاويتين خمسة أمثال ثيتا ومجموعهما تسعة أمثالها. اجمع المعادلتين واطرحهما لتجد الزاويتين، ثم عوّض في متطابقة الجزء الأول.
- 1A − B = 5θ and A + B = 9θ
- 2A = 7θ, B = 2θ
- 3cos 5θ − cos 9θ = 2 sin 7θ sin 2θ
Answercos 5θ − cos 9θ = 2 sin 7θ sin 2θ shown
الجزء (c) · 7 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
حلّ المعادلة: الطرف الأيسر من الجزء السابق يساوي جذر ثلاثة في جيب سبعة أمثال ثيتا، لقيم ثيتا الأكبر من الصفر حتى ثلث باي، والحلول بدلالة باي.
كيف تحلّه؟
استبدل الطرف الأيسر بالمتطابقة. انقل كل شيء إلى طرف واحد وأخرج جيب سبعة أمثال ثيتا عاملًا مشتركًا، ولا تقسم عليه حتى لا تضيع حلول. اجعل كل عامل صفرًا. حدّد المدى الجديد لكل زاوية: سبعة أمثال ثيتا حتى سبعة أثلاث باي، وضعف ثيتا حتى ثلثي باي. أوجد كل الحلول في المديين ثم اقسم. الفخ: القسمة على جيب سبعة أمثال ثيتا.
- 12 sin 7θ sin 2θ = √3 sin 7θ
- 2sin 7θ(2 sin 2θ − √3) = 0
- 3sin 7θ = 0: 7θ = π, 2π → θ = π/7, 2π/7
- 4sin 2θ = √3/2: 2θ = π/3, 2π/3 → θ = π/6, π/3
Answerθ = π/7, 2π/7, π/6, π/3
الجزء (d) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «باستخدام التفاضل والتكامل» قيمة تكامل ثمانية في جيب سبعة أمثال السين في جيب تمام ضعفها في ظل ضعفها، من الصفر إلى سُبع باي، لثلاث منازل عشرية.
كيف تحلّه؟
ظل الزاوية في جيب تمامها يساوي جيبها، فيصبح المكامَل ثمانية في جيب سبعة أمثال السين في جيب ضعفها. اكتبه أربعة أمثال ضعف حاصل الضرب، واستخدم متطابقة الجزأين الأولين لتحوّله إلى فرق جيبي تمام. تكامل جيب تمام عدد في السين هو الجيب مقسومًا على العدد. عوّض بالحدين والآلة الحاسبة على الراديان. الفخ: ترك الآلة الحاسبة على الدرجات.
- 1tan 2x cos 2x = sin 2x, so integrand = 8 sin 7x sin 2x = 4(2 sin 7x sin 2x)
- 2= 4(cos 5x − cos 9x)
- 3∫ = 4[sin 5x/5 − sin 9x/9] from 0 to π/7
- 4= 4(sin(5π/7)/5 − sin(9π/7)/9) − 0
- 5= 0.9729… = 0.973
Answer0.973
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حل المعادلات المثلثية بالعربي
تدرّب على أسئلة حل المعادلات المثلثية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara