حل السؤال 11، 4PM1/01R يونيو 2019: طول قطعة مستقيمة
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1R · بالآلة الحاسبة · 17 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
نقطتان معلومتان بإحداثياتهما، إحداهما بإحداثي سالب. المطلوب معادلة المستقيم المار بالنقطتين.
كيف تحلّه؟
احسب الميل: فرق الصادات على فرق السينات بالترتيب نفسه، ثم استخدم صيغة الميل والنقطة مع أي من النقطتين. انتبه لطرح الإحداثي السالب فهو يصبح جمعًا.
- 1Gradient = (6 − 3)/(5 − (−1)) = 1/2
- 2y − 6 = ½(x − 5)
- 32y − 12 = x − 5
Answer2y − 12 = x − 5 (x − 2y + 7 = 0)
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
نقطة تقسم القطعة بين النقطتين بنسبة اثنين إلى واحد. «بيّن أن» إحداثياتها هي المعطاة.
كيف تحلّه؟
النقطة على بعد ثلثي المسافة من النقطة الأولى. استخدم صيغة التقسيم: كل إحداثي مجموع موزون بالنسبة مقسوم على مجموع جزأي النسبة. الفخ: عكس الأوزان فتقترب النقطة من الطرف الخطأ.
- 1P = ((1 × (−1) + 2 × 5)/3, (1 × 3 + 2 × 6)/3)
- 2= (9/3, 15/3) = (3, 5)
AnswerP = (3, 5) shown
الجزء (c) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
نقطة مجهولة إحداثيها الأول موجب، والمستقيم منها إلى نقطة التقسيم عمودي على المستقيم الأول. الدائرة المارة بالنقاط الثلاث نصف قطرها معلوم. المطلوب إحداثيا النقطة.
كيف تحلّه؟
العمودية تعطي ميلًا هو سالب المقلوب، ومنه علاقة خطية بين الإحداثيين. الزاوية عند نقطة التقسيم قائمة، فالقطعة من النقطة الأولى إلى المجهولة قطر للدائرة، وطولها ضعف نصف القطر. اكتب مربع المسافة وعوّض العلاقة الخطية فتحصل على معادلة تربيعية، واختر الحل الموجب. الفخ: جعل نصف القطر هو المسافة.
- 1Gradient of CP = −2: (5 − n)/(3 − m) = −2 → n = 11 − 2m
- 2Angle APC = 90°, so AC is a diameter: AC = 10
- 3(m + 1)² + (n − 3)² = 100
- 4Substitute: (m + 1)² + (8 − 2m)² = 100 → m² − 6m − 7 = 0
- 5(m − 7)(m + 1) = 0, m > 0 so m = 7, n = −3
Answerm = 7, n = −3
الجزء (d) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
نقطة رابعة بحيث يكون المستقيم إليها من النقطة الأولى عموديًا على المستقيم الأول، والمستقيم منها إلى النقطة الثالثة موازيًا له. المطلوب إحداثياها.
كيف تحلّه؟
اكتب معادلة مستقيم يمر بالنقطة الثالثة بميل المستقيم الأول، ومعادلة مستقيم يمر بالنقطة الأولى بالميل العمودي. حلّهما معًا. أو لاحظ أن الشكل مستطيل جزئيًا فتنقل النقطة الأولى بمتجه الانتقال نفسه من نقطة التقسيم إلى النقطة الثالثة.
- 1DC through (7, −3) with gradient ½: y = (x − 13)/2
- 2AD through (−1, 3) with gradient −2: y = −2x + 1
- 3(x − 13)/2 = −2x + 1 → x = 3, y = −5
- 4(or AD = PC = 4i − 8j, D = (−1 + 4, 3 − 8))
Answerp = 3, q = −5
الجزء (e) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب مساحة شبه المنحرف الذي رؤوسه النقطة الأولى والثانية والثالثة والرابعة من الأجزاء السابقة.
كيف تحلّه؟
الضلعان المتوازيان هما القطعتان الموازيتان للمستقيم الأول، والارتفاع هو الضلع العمودي عليهما. احسب الأطوال الثلاثة بقانون المسافة، وستظهر كلها مضاعفات لجذر خمسة. ثم المساحة نصف مجموع المتوازيين في الارتفاع. الفخ: اعتبار ضلع مائل ارتفاعًا.
- 1AB = √(6² + 3²) = 3√5
- 2CD = √(4² + 2²) = 2√5
- 3Height AD = √(4² + 8²) = 4√5
- 4Area = ½(3√5 + 2√5) × 4√5 = 50
Answer50
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس طول قطعة مستقيمة بالعربي
تدرّب على أسئلة طول قطعة مستقيمة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara