حل السؤال 8، 4PM1/02 يونيو 2023: طول قطعة مستقيمة
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 17 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
نقطتان إحداثياتهما معلومة. المطلوب معادلة الخط المار بهما على الصورة العامة (حدود السين والصاد والثابت تساوي صفرًا) بمعاملات صحيحة.
كيف تحلّه؟
احسب الميل: فرق الصادات على فرق السينات وبسّطه. استخدم صيغة النقطة والميل مع أي من النقطتين، ثم اضرب في المقام لإزالة الكسر وانقل كل الحدود إلى طرف واحد. الفخ: الخطأ عند طرح العدد السالب في حساب الميل.
- 1Gradient of AB = (2 − 8)/(12 − (−6)) = −6/18 = −1/3
- 2y − 2 = −(1/3)(x − 12)
- 33y − 6 = −x + 12
- 4x + 3y − 18 = 0
Answerx + 3y − 18 = 0
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب الطول الدقيق للقطعة الواصلة بين النقطتين المعطاتين، أي بالجذور دون تقريب عشري.
كيف تحلّه؟
استخدم قانون المسافة: الجذر التربيعي لمجموع مربعي فرق السينات وفرق الصادات، ثم بسّط الجذر بإخراج أكبر مربع كامل. لا تقرّب لأن المطلوب قيمة «دقيقة».
- 1AB = √(18² + (−6)²)
- 2= √360
- 3= 6√10
Answer6√10
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
نقطة على القطعة تقسمها بنسبة واحد إلى اثنين من جهة النقطة الأولى. المطلوب إحداثيا هذه النقطة.
كيف تحلّه؟
النقطة على ثلث المسافة من النقطة الأولى إلى الثانية. أضف إلى إحداثيي النقطة الأولى ثلث الفرق في السين وثلث الفرق في الصاد. الفخ: عكس النسبة فتأخذ الثلث من جهة النقطة الثانية.
- 1X divides AB in the ratio 1 : 2
- 2m = (2 × (−6) + 1 × 12)/3 = 0
- 3n = (2 × 8 + 1 × 2)/3 = 6
Answerm = 0, n = 6
الجزء (d) · 7 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
خط عمودي على القطعة يمر بنقطة التقسيم، وعليه نقطة إحداثياها موجبان. القطعة قطر في دائرة، والنقطة الجديدة على محيطها. المطلوب القيمتان الدقيقتان لإحداثيي هذه النقطة.
كيف تحلّه؟
ميل الخط العمودي سالب مقلوب ميل القطعة؛ اكتب معادلته عبر نقطة التقسيم فتحصل على علاقة خطية بين الإحداثيين. ولأن القطعة قطر، فالزاوية المرسومة في نصف الدائرة قائمة: حاصل ضرب ميلي الخطين من النقطة الجديدة إلى طرفي القطر يساوي سالب واحد. عوّض بالعلاقة الخطية فتحصل على معادلة تربيعية، واختر الحل الموجب. الفخ: نسيان شرط الإحداثيين الموجبين.
- 1L is perpendicular to AB through X(0, 6): gradient 3, so q = 3p + 6
- 2C is on the circle with diameter AB, so angle ACB = 90°: CA ⊥ CB
- 3(q − 8)/(p + 6) × (q − 2)/(p − 12) = −1, so q² − 10q + 16 = −p² + 6p + 72
- 4Substitute q = 3p + 6: 10p² − 80 = 0
- 5p² = 8, p = √8 = 2√2 (p > 0)
- 6q = 3√8 + 6 = 6 + 6√2
Answer(i) p = √8 = 2√2 (ii) q = 6 + 6√2
الجزء (e) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب المساحة الدقيقة للمثلث المكوّن من طرفي القطر والنقطة التي وجدتها على المحيط.
كيف تحلّه؟
القطعة من نقطة التقسيم إلى النقطة على المحيط عمودية على القطر، فهي ارتفاع المثلث والقطر قاعدته. احسب طول الارتفاع بقانون المسافة وبسّط الجذر، ثم المساحة نصف القاعدة في الارتفاع، واضرب الجذور وبسّط. الفخ: التقريب العشري بدل الإجابة الدقيقة.
- 1CX = √((√8 − 0)² + (6 + 6√2 − 6)²) = √(8 + 72) = 4√5
- 2CX is perpendicular to AB
- 3Area = (1/2) × AB × CX = (1/2) × 6√10 × 4√5
- 4= 60√2
Answer60√2
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس طول قطعة مستقيمة بالعربي
تدرّب على أسئلة طول قطعة مستقيمة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara