حل السؤال 8، 0580/32 مايو/يونيو 2021: الزوايا في المثلث
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 32 (Core) · بالآلة الحاسبة · 15 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
في الشكل مثلث له ضلعان متساويان، وخط موازٍ لأحد أضلاعه، وإحدى زواياه معطى مقدارها. المطلوب «اكتب» الاسم الرياضي لنوع هذه الزاوية المعطاة: حادة أم قائمة أم منفرجة أم منعكسة؟
كيف تحلّه؟
لا تحتاج هنا إلى التوازي ولا إلى تساوي الضلعين. قارن مقدار الزاوية المعطى بتسعين درجة: الأصغر من تسعين حادة. اكتب اسم النوع فقط.
- 136° is less than 90°, so it is an acute angle
AnswerAcute
الجزء (aii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
في الشكل مثلث فيه ضلعان متساويان كما هو مُعطى. المطلوب أن «تكتب فقط» الاسم الرياضي لهذا النوع من المثلثات، دون شرح.
كيف تحلّه؟
انظر إلى المعطى: ضلعان من أضلاع المثلث متساويان في الطول. المثلث الذي فيه ضلعان متساويان يسمى «متساوي الساقين». لا تخلط بينه وبين «متطابق الأضلاع» الذي تتساوى فيه الأضلاع الثلاثة.
- 1AB = BC, so triangle ABC is isosceles
AnswerIsosceles
الجزء (aiii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
في الشكل مثلث فيه ضلعان متساويان، ومستقيم موازٍ لأحد أضلاعه. المطلوب أن تحسب قيمة الزاوية «س» عند رأس المثلث.
كيف تحلّه؟
بما أن الضلعين متساويان فالمثلث متساوي الساقين، وزاويتا القاعدة متساويتان، فالزاوية الأخرى عند القاعدة تساوي الزاوية المعطاة. ثم مجموع زوايا المثلث مئة وثمانون درجة، فاطرح زاويتي القاعدة منها. حدد جيدًا أي الزاويتين هما زاويتا القاعدة: هما المقابلتان للضلعين المتساويين.
- 1Angle BAC = angle ACB = 36° (base angles of isosceles triangle)
- 2x = 180 − 2 × 36 = 108
Answer108
الجزء (aiv) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
في الشكل مثلث له ضلعان متساويان، وخط يمر برأس منه ويوازي الضلع المقابل. المطلوب إيجاد قياس الزاوية المحددة، وذكر السبب الهندسي لإجابتك.
كيف تحلّه؟
الخط الجديد يوازي ضلع المثلث، والضلع الآخر يعمل قاطعًا لهما. الزاوية المطلوبة والزاوية المعلومة في المثلث تقعان على جهتين مختلفتين من القاطع وبين المتوازيين، فهما متبادلتان ومتساويتان. لا تنسَ كتابة السبب، فله درجة مستقلة.
- 1Angle CBD = angle ACB = 36°
- 2because they are alternate angles (AC is parallel to BD)
Answer36, alternate angles
الجزء (bi) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
الشكل رباعي، وفيه كل ضلعين متقابلين متوازيان كما تدل الأسهم على الرسم. المطلوب أن تكتب الاسم الرياضي الصحيح لهذا الشكل الرباعي. «اكتب» تعني أن الجواب كلمة واحدة دون حساب.
كيف تحلّه؟
انظر إلى علامات التوازي: الأسهم المزدوجة على زوج من الأضلاع المتقابلة، والأسهم المفردة على الزوج الآخر. الشكل الرباعي الذي يتوازى فيه كل ضلعين متقابلين له اسم خاص. لا تسمّه مربعًا أو مستطيلًا، فالزوايا ليست قوائم.
- 1Both pairs of opposite sides are parallel, so PQRS is a parallelogram
AnswerParallelogram
الجزء (bii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
الشكل رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان. المطلوب «احسب» محيط هذا الرباعي، أي مجموع أطوال أضلاعه الأربعة.
كيف تحلّه؟
بما أن كل ضلعين متقابلين متوازيان فالشكل متوازي أضلاع، والأضلاع المتقابلة فيه متساوية. نجمع الضلعين المعلومين ونضاعف الناتج. انتبه: الطول على امتداد الخط المستقيم خارج الشكل ليس من أضلاع الرباعي.
- 1Perimeter = 6.5 + 8 + 6.5 + 8 = 29 cm
Answer29
الجزء (biii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
في الشكل رباعي أضلاعه المتقابلة متوازية، وأحد أضلاعه ممدود على خط مستقيم، وزاوية خارجية معطاة. المطلوب إيجاد الزاوية الداخلية المحددة في السؤال، ثم إكمال الجملة بذكر السبب الهندسي بعد كلمة «لأن».
كيف تحلّه؟
الزاوية المطلوبة والزاوية المعطاة تقعان معًا على الخط المستقيم نفسه، ومجموعهما مئة وثمانون درجة. اطرح الزاوية المعطاة من مئة وثمانين. أما الأطوال المعطاة في الشكل فلا تحتاجها في هذا الجزء.
- 1Angle PSR = 180 − 120 = 60°
- 2because angles on a straight line add up to 180°
Answer60, angles on a straight line add up to 180
الجزء (biv) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
في الشكل رباعي، والضلعان المذكوران في السؤال (اللذان يلتقيان عند الرأس المشترك بينهما) هما ضلعان متجاوران في مضلّع منتظم، والزاوية بينهما معطاة. المطلوب إيجاد عدد أضلاع هذا المضلّع المنتظم. لاحظ أن الزاوية بين ضلعين متجاورين هي زاوية داخلية في ذلك المضلّع.
كيف تحلّه؟
الزاوية بين الضلعين المتجاورين هي الزاوية الداخلية للمضلّع المنتظم. نطرحها من مئة وثمانين لنحصل على الزاوية الخارجية، ثم نقسم ثلاثمئة وستين عليها لنحصل على عدد الأضلاع. لا تخلط بين هذه الزاوية والزاوية المجاورة لها على الخط المستقيم.
- 1Interior angle = 120°, so exterior angle = 180 − 120 = 60°
- 2Number of sides = 360 ÷ 60 = 6
Answer6
الجزء (bv) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
شكل رباعي كل ضلعين متقابلين فيه متوازيان، وعلى امتداد قاعدته خط مستقيم معلومة عنده زاوية خارجية. المطلوب إثبات أن ارتفاع الشكل يساوي القيمة المعطاة مقرّبة لمنزلتين عشريتين. عبارة «بيّن أن» تعني كتابة الحساب كاملًا والوصول إلى قيمة أدق قبل التقريب.
كيف تحلّه؟
الزاوية الداخلية عند رأس القاعدة تكمل الزاوية الخارجية المعطاة إلى زاوية مستقيمة. الارتفاع مع الضلع المائل يكوّنان مثلثًا قائمًا، فالارتفاع مقابل لتلك الزاوية والضلع المائل هو الوتر، لذلك نضرب طول الضلع في جيب الزاوية. الفخ: استخدام الزاوية الخارجية مباشرة.
- 1sin 60° = h/6.5
- 2h = 6.5 × sin 60° = 5.629…
- 3h = 5.63 cm (2 d.p.)
Answersin 60 = h/6.5 so h = 5.629…
الجزء (bvi) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
الشكل الرباعي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان، ومعطى طولا ضلعين وزاوية خارجية عند أحد الرؤوس. المطلوب حساب مساحته. «احسب» تعني الوصول إلى قيمة عددية للمساحة.
كيف تحلّه؟
الشكل متوازي أضلاع، فمساحته القاعدة مضروبة في الارتفاع العمودي. الزاوية الداخلية عند الرأس مكمّلة للزاوية الخارجية المعطاة لأنهما على خط مستقيم. استخدم الجيب مع هذه الزاوية الداخلية والضلع المائل لإيجاد الارتفاع، ثم اضربه في القاعدة. الخطأ الشائع: ضرب الضلعين مباشرة دون إيجاد الارتفاع.
- 1Height h = 6.5 × sin 60° = 5.629… cm
- 2PQRS is a parallelogram, so area = base × height.
- 3Area = 8 × 5.629… = 45.03… ≈ 45.0 cm²
Answer45.0 or 45.03 to 45.04
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الزوايا في المثلث بالعربي
تدرّب على أسئلة الزوايا في المثلث
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara