حل السؤال 8، 0580/33 مايو/يونيو 2022: الزوايا في المثلث
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 33 (Core) · بالآلة الحاسبة · 13 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
في المثلث ضلعان متساويان كما هو مُعطى، وأحد أضلاعه ممتد على خط مستقيم. المطلوب في هذا الجزء أن «تكتب فقط» الاسم الرياضي لهذا المثلث.
كيف تحلّه؟
المعطى أن ضلعين من المثلث متساويان، فالمثلث «متساوي الساقين». لا تشغل نفسك هنا بالزاوية المعطاة، فهي للأجزاء التالية.
- 1PQ = PR, so the triangle is isosceles
AnswerIsosceles
الجزء (aii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المثلث فيه ضلعان متساويان، وأحد أضلاعه ممدود على خط مستقيم، والزاوية الخارجية معطاة. المطلوب أن تحسب زاوية رأس المثلث المحددة في السؤال، مع إظهار خطواتك.
كيف تحلّه؟
احسب أولًا الزاوية الداخلية المجاورة للزاوية الخارجية بطرحها من مئة وثمانين، لأنهما على خط مستقيم. المثلث متساوي الساقين فزاويتا القاعدة متساويتان. ثم اطرح زاويتي القاعدة من مئة وثمانين لتصل إلى زاوية الرأس.
- 1Angle PRQ = 180 − 114 = 66° (angles on a straight line)
- 2Angle PQR = 66° (isosceles triangle)
- 3Angle QPR = 180 − 66 − 66 = 48°
Answer48
الجزء (bi) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
في الشكل دائرة، ومماس عند نقطة عليها، وخط آخر يوازي المماس، والزاوية بين المماس ووتر معلومة. المطلوب إيجاد قياس الزاوية المحددة عند الخط الموازي، مع ذكر السبب.
كيف تحلّه؟
الوتر يقطع المماس والخط الموازي له. الزاوية المطلوبة والزاوية المعلومة تقعان بين المتوازيين على جهتين مختلفتين من هذا الوتر، فهما متبادلتان ومتساويتان. لا تحتاج هنا إلى نظريات الدائرة، واكتب السبب صراحة.
- 1Angle CDE = angle BED = 68°
- 2Reason: alternate angles (AB parallel to CD)
Answer68, alternate angles
الجزء (bii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
ثلاث نقاط على دائرة، ووتر يمر بالمركز، ومماس عند إحدى النقاط، والزاوية بين المماس ووتر معطاة. المطلوب إيجاد الزاوية المحددة بين الوترين، ثم كتابة السبب الهندسي لإجابتك.
كيف تحلّه؟
الوتر المار بالمركز هو نصف قطر عند نقطة التماس، والمماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس، فالزاوية بينهما قائمة. الزاوية المطلوبة هي ما يتبقى من الزاوية القائمة بعد طرح الزاوية المعطاة. اكتب السبب: «الزاوية بين المماس ونصف القطر قائمة».
- 1FE is a diameter, so angle BEF = 90° (angle between tangent and radius = 90°)
- 2Angle DEF = 90 − 68 = 22°
Answer22, angle between tangent and radius = 90°
الجزء (biii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
في الشكل دائرة لها قطر، ومماس عند أحد طرفيه يوازي مستقيمًا آخر، ومعطى زاوية بين المماس ووتر. المطلوب «احسب» زاوية في المثلث المرسوم داخل الدائرة، ثم «اكتب» خاصيتين هندسيتين إضافيتين احتجت إليهما للوصول إلى الإجابة، أي اسمي النظريتين.
كيف تحلّه؟
الزاوية المحيطية المرسومة على القطر قائمة، فإحدى زوايا المثلث معروفة. والزاوية الثانية نحصل عليها من أن المماس عمودي على القطر عند نقطة التماس. ثم نطرح الزاويتين من مجموع زوايا المثلث. الخاصيتان المطلوبتان: الزاوية في نصف دائرة قائمة، ومجموع زوايا المثلث مئة وثمانون درجة.
- 1Angle EDF = 90° (angle in a semicircle = 90°)
- 2Angle EFD = 180 − 90 − 22 = 68° (angles in a triangle add to 180°)
Answer68, with reasons: angle in a semicircle = 90° and angles in a triangle add to 180°
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لديك قطاع دائري معلوم نصف قطره وزاويته عند المركز. المطلوب حساب طول القوس، أي الجزء المنحني فقط من حدود القطاع.
كيف تحلّه؟
طول القوس هو نسبة زاوية القطاع من الدورة الكاملة مضروبة في محيط الدائرة. احسب المحيط من نصف القطر ثم خذ منه هذه النسبة. لا تخلط بين صيغة طول القوس وصيغة المساحة.
- 1Arc = 60/360 × 2 × π × 7.5
- 2= 2.5π = 7.853… ≈ 7.85 cm
Answer7.85 or 7.86 or 7.853 to 7.855
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الزوايا في المثلث بالعربي
تدرّب على أسئلة الزوايا في المثلث
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara