حل السؤال 6، 0580/33 مايو/يونيو 2023: التمثيلات البيانية التربيعية والقطع المكافئ
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 33 (Core) · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
على الشبكة مستقيم مرسوم اسمه ل. اكتب معادلته على الصورة: ص تساوي م س زائد ج، حيث م هو الميل و ج هو المقطع الصادي. «اكتب» تعني أنك تستطيع قراءة الإجابة من الرسم دون حسابات طويلة.
كيف تحلّه؟
اقرأ المقطع الصادي من موضع قطع المستقيم لمحور الصادات. ثم تحرّك على المستقيم خطوة واحدة إلى اليمين ولاحظ كم ينزل، فهذا هو الميل؛ والمستقيم نازل فالميل سالب. اكتب المعادلة كاملة بدءًا بـ «ص تساوي»، ولا تنسَ الإشارة السالبة.
- 1L crosses the y-axis at (0, 3), so c = 3
- 2L passes through (0, 3) and (1, 1): gradient = (1 − 3) ÷ (1 − 0) = −2
- 3y = −2x + 3
Answer−2x + 3
الجزء (bi) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لديك معادلة منحنى وجدول قيم ناقص. المطلوب حساب قيم «ص» الناقصة لقيم «س» المعطاة.
كيف تحلّه؟
عوّض كل قيمة «س» في المعادلة: احسب المربع، ثم اطرح ثلاثة أمثال «س»، ثم اطرح العدد الثابت. عندما تكون «س» سالبة يصبح طرح ثلاثة أمثالها جمعًا، وهذا أشهر خطأ هنا.
- 1x = −2: 4 + 6 − 3 = 7
- 2x = 0: −3
- 3x = 3: 9 − 9 − 3 = −3
- 4x = 5: 25 − 15 − 3 = 7
Answer7, −3, −3, 7
الجزء (bii) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب رسم منحنى المعادلة على الشبكة في المدى المحدد لقيم «س»، مستخدمًا قيم الجدول.
كيف تحلّه؟
عيّن كل النقاط بدقة، ثم صِل بينها بمنحنى أملس على شكل حرف «يو». القاع يقع بين نقطتين متساويتين في القيمة، فاجعل المنحنى ينزل قليلًا تحتهما ولا تصلهما بخط مستقيم.
- 1Plot (−2, 7), (−1, 1), (0, −3), (1, −5), (2, −5), (3, −3), (4, 1), (5, 7)
- 2Join with a smooth U-shaped curve, lowest point between x = 1 and x = 2
AnswerCorrect and accurate curve
الجزء (ci) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب كتابة إحداثيي أدنى نقطة على المنحنى، أي قيمة «س» وقيمة «ص» عندها. «اكتب» تعني أن الجواب يُقرأ من الرسم أو يُحسب بسرعة.
كيف تحلّه؟
أدنى نقطة تقع على خط التماثل، في منتصف المسافة بين نقطتين متساويتين في القيمة. اقرأ قيمة «ص» عندها من رسمك، أو عوّض قيمة «س» في المعادلة. لا تكتب أصغر قيمة في الجدول، فالقاع الحقيقي أعمق قليلًا منها.
- 1By symmetry the lowest point is at x = 1.5
- 2y = 1.5² − 3 × 1.5 − 3 = −5.25
- 3(1.5, −5.25)
Answer(1.4 to 1.6, −5.5 to −5)
الجزء (cii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
لديك منحنى دالة تربيعية مرسوم على الشبكة. المطلوب أن ترسم عليه خط التماثل الخاص به بدقة باستخدام المسطرة.
كيف تحلّه؟
منحنى الدالة التربيعية له خط تماثل رأسي واحد يمر برأس المنحنى، أي بأدنى نقطة فيه. اختر نقطتين على المنحنى لهما الصادات نفسها، وارسم الخط الرأسي في منتصف المسافة بينهما تمامًا.
- 1Draw a vertical ruled line through x = 1.5
AnswerLine x = 1.5 drawn accurately
الجزء (ciii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب أن تكتب معادلة خط تماثل منحنى الدالة التربيعية. عبارة «اكتب» تعني أن الإجابة مباشرة، ويمكنك الاعتماد على الجدول أو الرسم.
كيف تحلّه؟
ابحث في الجدول عن قيمتين للسينات تعطيان القيمة نفسها للصادات. خط التماثل في منتصف المسافة بينهما، فخذ متوسطهما. اكتب المعادلة على صورة السينات تساوي عددًا، لأن الخط رأسي. الفخ الشائع هو كتابة معادلة تبدأ بالصادات.
- 1From the table, y = −5 at x = 1 and at x = 2
- 2The line of symmetry is halfway: (1 + 2) ÷ 2 = 1.5
- 3x = 1.5
Answerx = 1.5
الجزء (d) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب أن تكتب إحداثيي نقطة تقاطع الخط المسمى «ل» مع منحنى المعادلة التربيعية، عند النقطة التي تكون فيها س موجبة. كلمة «اكتب» تعني أن تقرأ الإجابة دون خطوات طويلة.
كيف تحلّه؟
اقرأ نقطة التقاطع من الرسم في الجهة التي تكون فيها س موجبة، أو ساوِ معادلة الخط بمعادلة المنحنى وحل المعادلة التربيعية الناتجة بالتحليل واختر الحل الموجب. ثم عوّض لإيجاد ص. اكتب الإحداثيين بالترتيب: السيني أولًا ثم الصادي.
- 1−2x + 3 = x² − 3x − 3
- 2x² − x − 6 = 0, (x − 3)(x + 2) = 0
- 3For x > 0: x = 3, y = −2 × 3 + 3 = −3
- 4(3, −3)
Answer(3, −3)
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس التمثيلات البيانية التربيعية والقطع المكافئ بالعربي
تدرّب على أسئلة التمثيلات البيانية التربيعية والقطع المكافئ
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara