حل السؤال 4، 0580/43 مايو/يونيو 2023: Congruent Triangles: Proof Conditions
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 43 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 13 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
ثلاث بلدات: الثانية تقع جنوب الأولى تمامًا، ومعلوم اتجاه الثالثة من الأولى، والمسافتان من البلدة الثالثة إلى البلدتين الأخريين متساويتان. المطلوب حساب اتجاه البلدة الثانية عندما نقف عند البلدة الثالثة. «احسب» تعني كتابة الخطوات، والجواب بثلاثة أرقام.
كيف تحلّه؟
الزاوية عند البلدة الأولى داخل المثلث هي ما يكمل الاتجاه المعطى إلى نصف دورة لأن البلدة الثانية في الجنوب. المثلث متساوي الساقين فزاويتا القاعدة متساويتان، ومنهما نجد زاوية الرأس عند البلدة الثالثة. ثم نعكس الاتجاه المعطى لنعرف اتجاه البلدة الأولى من الثالثة، وننقص منه زاوية الرأس. الفخ: تحديد زاويتي القاعدة المتساويتين بالخطأ.
- 1Angle BAC = 180° − 114° = 66°
- 2AC = BC, so angle ABC = 66° and angle ACB = 180 − 66 − 66 = 48°
- 3Bearing of A from C = 114 + 180 = 294°
- 4Bearing of B from C = 294 − 48 = 246°
Answer246°
الجزء (bi) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
أربع نقاط على دائرة، ومماس عند إحداها، وثلاث زوايا معطاة. المطلوب إيجاد زاوية محيطية محددة في الشكل.
كيف تحلّه؟
استخدم نظرية الزاوية بين المماس والوتر: الزاوية بين المماس ووتر تساوي الزاوية المحيطية المرسومة على هذا الوتر في القطعة المقابلة. ابحث عن الزاوية المعطاة بين المماس والوتر الذي تقابله الزاوية المطلوبة. الفخ: الانشغال بالزوايا الأخرى المعطاة، فبعضها غير مطلوب هنا.
- 1Alternate segment theorem: angle PRS = angle MPS
- 2Angle PRS = 58°
Answer58°
الجزء (bii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
في الشكل أربع نقاط على دائرة، ومماس عند إحداها، ومعطى ثلاث زوايا. المطلوب «أوجد» قياس زاوية في الشكل الرباعي الدائري. يكفي ذكر الإجابة.
كيف تحلّه؟
الزاوية المطلوبة تقابل زاوية معطاة في الرباعي الدائري، والزاويتان المتقابلتان فيه مجموعهما مئة وثمانون درجة، فنطرح الزاوية المعطاة من ذلك. الزوايا الأخرى عند المماس لا تلزم هنا.
- 1PQRS is a cyclic quadrilateral, opposite angles sum to 180°
- 2Angle PQR = 180 − 74 = 106°
Answer106°
الجزء (biii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
الشكل نفسه. المطلوب «أوجد» قياس زاوية في المثلث المرسوم داخل الدائرة عند نقطة التماس.
كيف تحلّه؟
نجد زاوية في المثلث بنظرية القطعة المتبادلة: الزاوية بين المماس والوتر تساوي الزاوية المحيطية في القطعة المقابلة. ومعنا زاوية أخرى من الجزء السابق. ثم نطرح الزاويتين من مجموع زوايا المثلث.
- 1Alternate segment theorem: angle PRQ = angle QPN = 27°
- 2Angles in triangle PQR: angle RPQ = 180 − 106 − 27
- 3= 47°
Answer47°
الجزء (c) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
قطر دائرة، ومماسان من نقطة خارجها، وزاوية معطاة. المطلوب أن تكمل الجمل الناقصة بقيم الزوايا ومعها «الأسباب الهندسية»، لتصل في النهاية إلى إثبات أن الوتر المذكور يوازي المستقيم الخارج من المركز.
كيف تحلّه؟
الزاوية بين نصف القطر والمماس قائمة، والمماسان المرسومان من نقطة واحدة متساويان، فالمثلثان متطابقان بحالة الزاوية القائمة والوتر وضلع. بعد معرفة الزاويتين عند المركز، استعمل أن الزوايا على خط مستقيم مجموعها زاويتان قائمتان لتجد زاوية المركز الثالثة. ثم المثلث الذي ضلعاه نصفا قطر متساوي الساقين، فزاويتا قاعدته متساويتان. أخيرًا تتساوى زاويتان متبادلتان، فيكون المستقيمان متوازيين. الفخ: كتابة القيمة دون السبب.
- 1Angle OAT = angle OBT = 90° because a radius is perpendicular to a tangent
- 2AT = BT because tangents from the same point to a circle are equal
- 3Congruent by RHS
- 4Angle BOC = 180 − 56 − 56 = 68° because angles on a straight line AOC add up to 180°
- 5OB = OC (radii), so triangle OBC is isosceles: angle OBC = (180 − 68)/2 = 56°
- 6Angle OBC = angle BOT = 56° are alternate angles, so CB is parallel to OT
AnswerRadius is perpendicular to tangent; tangents from the same point are equal; RHS; angle BOC = 68° because angles on a straight line add up to 180°; angle OBC = 56° because triangle OBC is isosceles (base angles equal); angle OBC = angle BOT = 56° so they are alternate angles
تدرّب على أسئلة Congruent Triangles: Proof Conditions
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara