حل السؤال 5، 0580/41 مايو/يونيو 2025: المتتابعات التربيعية والتكعيبية
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 41 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 6 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
أمامك الحدود الخمسة الأولى من متتابعة. المطلوب إيجاد الحد العاشر منها.
كيف تحلّه؟
لاحظ نوع الأعداد في المتتابعة: كل حد هو مكعّب رقمه، أي رقم الحد مضروبًا في نفسه ثلاث مرات. إذن الحد العاشر هو مكعّب عشرة. الخطأ الشائع الاستمرار في جمع الفروق خطوة خطوة فيقع خطأ في الحساب.
- 1The terms are cube numbers 1³, 2³, 3³, 4³, 5³
- 210th term = 10³ = 1000
Answer1000 or 10³
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
أمامك الحدود الخمسة الأولى من متتابعة أخرى. المطلوب إيجاد الحد العام (الحد رقم «ن»)، أي قاعدة بدلالة «ن» تعطي أي حد فيها.
كيف تحلّه؟
احسب الفروق الأولى ثم الفروق الثانية؛ الفرق الثاني ثابت فالمتتابعة تربيعية، ومعامل مربّع «ن» نصف الفرق الثاني. اطرح مربّع «ن» من كل حد فيبقى عدد ثابت، فتكون القاعدة مربّع «ن» زائد هذا الثابت. الخطأ الشائع كتابة قاعدة خطية من الفروق الأولى.
- 1Differences: 3, 5, 7, 9; second difference = 2, so start with n²
- 2n²: 1, 4, 9, 16, 25; sequence − n² = 4 each time
- 3nth term = n² + 4
Answern² + 4
الجزء (ci) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
لديك قاعدة تعطي مجموع أول «ن» حدًا في متتابعة. المطلوب أن تعوّض عن «ن» بالقيمة المحددة في السؤال لتجد مجموع أول حدين.
كيف تحلّه؟
ضع القيمة المعطاة مكان «ن» في كل موضع من القاعدة: في الكسر الذي خارج القوس وفي داخل القوس. احسب ما داخل القوس أولًا، ثم اضربه في الكسر.
- 12/2 × (5 × 2 − 1) = 1 × 9 = 9
Answer9
الجزء (cii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب أن تجد الحد الثالث نفسه في هذه المتتابعة، لا مجموع الحدود. انتبه إلى أن القاعدة المعطاة تعطي مجموعًا.
كيف تحلّه؟
الحد الثالث يساوي مجموع أول ثلاثة حدود ناقص مجموع أول حدين. احسب مجموع أول ثلاثة حدود من القاعدة، واطرح منه المجموع الذي وجدته في الجزء السابق. الفخ: التعويض بثلاثة في القاعدة والتوقف، فهذا يعطي المجموع لا الحد الثالث.
- 13rd term = (sum of first 3 terms) − (sum of first 2 terms)
- 2Sum of first 3 = 3/2 × (5 × 3 − 1) = 3/2 × 14 = 21
- 3Sum of first 2 = 2/2 × (5 × 2 − 1) = 9
- 43rd term = 21 − 9 = 12
Answer12
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المتتابعات التربيعية والتكعيبية بالعربي
تدرّب على أسئلة المتتابعات التربيعية والتكعيبية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara