حل السؤال 6، 0580/42 أكتوبر/نوفمبر 2022: الكسور الجبرية
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 42 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 21 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب حلّ المعادلة وإيجاد قيمة «س». اكتب خطواتك لأن على السؤال درجتين.
كيف تحلّه؟
اطرح العدد المضاف من الطرفين، ثم اقسم على معامل «س». بما أن الطرف الأيمن أصغر من العدد المضاف، يصير الناتج سالبًا، والجواب ليس عددًا صحيحًا. انتبه للإشارة.
- 14x = 9 − 15 = −6
- 2x = −6/4 = −1.5
Answer−1.5 or −1 1/2 or −3/2
الجزء (b) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المقدار فرق بين مربع متغير وعدد. المطلوب: حلّل المقدار إلى قوسين مضروبين.
كيف تحلّه؟
نلاحظ أن العدد مربع كامل، فالمقدار فرق بين مربعين. نكتبه على صورة قوسين: في أحدهما الجذران مطروحان، وفي الآخر مجموعان. يمكنك التحقق بفك القوسين.
- 1a² − 9 = a² − 3² = (a − 3)(a + 3)
Answer(a − 3)(a + 3)
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
أمامك قسمة كسر جبري على كسر جبري آخر، وفيهما عدة مجاهيل. المطلوب كتابة الناتج «ككسر واحد في أبسط صورة».
كيف تحلّه؟
القسمة على كسر تساوي الضرب في مقلوبه، فاقلب الكسر الثاني. اضرب البسطين معًا والمقامين معًا، ثم اختصر المجهول المشترك واقسم الأعداد على عاملها المشترك الأكبر. تأكد أنه لم يبق شيء قابل للاختصار.
- 1(4a)/5 × (10c)/(3ad)
- 2= (40ac)/(15ad)
- 3= (8c)/(3d)
Answer(8c)/(3d)
الجزء (d) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لديك مجموع عدة حدود متساوية، كل منها قوة للعدد خمسة بأُسّ مجهول، والمجموع قوة للعدد خمسة بأُسّ مجهول آخر. المطلوب أن تكتب الأُسّ الثاني بدلالة الأُسّ الأول، أي تعبيرًا يحتوي عليه.
كيف تحلّه؟
جمع حدود متساوية يعني ضرب الحد في عددها، وعدد الحدود هنا يساوي الأساس نفسه. فنكتب هذا العدد قوةً للأساس، ثم نضرب القوتين بجمع الأُسّين. الفخ الشائع: جمع الأُسس عند جمع الحدود، أو ضرب الأُسّ في عدد الحدود.
- 15ⁿ + 5ⁿ + 5ⁿ + 5ⁿ + 5ⁿ = 5 × 5ⁿ = 5ⁿ⁺¹
- 2m = n + 1
Answern + 1
الجزء (e) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
حلّ المعادلة التربيعية بطريقة التحليل إلى عاملين، أي اكتبها على صورة حاصل ضرب قوسين يساوي صفرًا، ثم أوجد قيمتي س. المطلوب استخدام التحليل تحديدًا.
كيف تحلّه؟
ابحث عن قوسين: الحدّان الأولان حاصل ضربهما معامل س تربيع، والحدّان الأخيران حاصل ضربهما الحد الثابت، ومجموع الضرب المتقاطع يساوي معامل س. جرّب تقسيمات مختلفة لمعامل س تربيع حتى تنجح. اجعل كل قوس يساوي صفرًا وحلّه؛ الحلّان كسران.
- 14x² + 8x − 5 = 0
- 2(2x − 1)(2x + 5) = 0
- 3x = 1/2 or x = −5/2
Answer1/2 or 0.5 and −2.5 or −2 1/2 or −5/2
الجزء (fi) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«ص» تتناسب طرديًا مع مكعّب المقدار (س زائد ثلاثة). يعطيك السؤال قيمة «ص» عند قيمة معيّنة لـ«س». انتبه: المطلوب إيجاد «س» عندما تُعطى قيمة جديدة لـ«ص».
كيف تحلّه؟
اكتب العلاقة: «ص» تساوي ثابتًا مضروبًا في مكعّب (س زائد ثلاثة)، وعوّض بالقيمتين المعطاتين لتجد الثابت. ثم عوّض بقيمة «ص» الجديدة، واقسم على الثابت لتعزل المكعّب، وخذ الجذر التكعيبي للطرفين، ثم اطرح ثلاثة. الخطأ الشائع نسيان طرح ثلاثة في الخطوة الأخيرة.
- 1y = k(x + 3)³
- 213.5 = k × 5³, so k = 0.108
- 3108 = 0.108(x + 3)³, so (x + 3)³ = 1000
- 4x + 3 = 10, x = 7
Answer7
الجزء (fii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«ج» تتناسب عكسيًا مع مربّع «د». إذا قُسمت «د» على اثنين (صارت نصفها)، تُضرب قيمة «ج» في عدد ما. المطلوب إيجاد هذا العدد.
كيف تحلّه؟
ضع نصف «د» مكان «د» في العلاقة. مربّع النصف هو ربع المربّع الأصلي، والقسمة على ربع تعني الضرب في أربعة، فتكبر «ج». الخطأ الشائع نسيان التربيع فيُظن أن «ج» تتضاعف فقط.
- 1g = k/d²
- 2d → d/2: g = k/(d/2)² = 4k/d²
- 3n = 4
Answer4
الجزء (g) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«فُكّ الأقواس وبسّط» تعني: اضرب الأقواس الثلاثة بعضها في بعض حتى لا يبقى أي قوس، ثم اجمع الحدود المتشابهة. الناتج مقدار واحد مرتّب بلا أقواس.
كيف تحلّه؟
اضرب أولًا قوسين من الثلاثة لتحصل على مقدار من الدرجة الثانية وبسّطه. ثم اضرب هذا المقدار في القوس الثالث، بضرب كل حدّ في كل حدّ. اجمع الحدود المتشابهة ورتّبها من الأس الأكبر إلى الأصغر؛ قد يلغي بعض الحدود بعضًا فيختفي، وهذا صحيح. انتبه لإشارات السالب أثناء الضرب.
- 1(2x + 3)(x − 1) = 2x² + x − 3
- 2(2x² + x − 3)(x + 3) = 2x³ + 6x² + x² + 3x − 3x − 9
- 3= 2x³ + 7x² − 9
Answer2x³ + 7x² − 9
الجزء (h) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لديك معادلة منحنى تربيعي. المطلوب إيجاد المشتقة، أي الدالة التي تعطي ميل المنحنى عند أي نقطة.
كيف تحلّه؟
نشتق كل حد على حدة: نضرب المعامل في الأس ثم ننقص الأس واحدًا. حد «س» وحده يصبح معامله فقط، والحد الثابت يختفي. الفخّ: إبقاء الحد الثابت في الجواب.
- 1Differentiate each term: axⁿ becomes naxⁿ⁻¹.
- 23x² → 2 × 3x = 6x
- 34x → 4, and the constant −1 → 0
- 4dy/dx = 6x + 4
Answer6x + 4
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الكسور الجبرية بالعربي
تدرّب على أسئلة الكسور الجبرية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara