حل السؤال 5، 0580/43 أكتوبر/نوفمبر 2022: حساب المثلثات في الفراغ: متوازي المستطيلات
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 43 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 15 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
حوض ماء على شكل منشور، مقطعه العرضي شبه منحرف متساوي الساقين، وأبعاده معطاة بعضها بالسنتيمتر وطول الحوض بالمتر، وهو مملوء بالماء تمامًا. المطلوب: «أثبت» أن حجم الماء يساوي القيمة المعطاة باللترات، مع كتابة كل الخطوات.
كيف تحلّه؟
احسب مساحة شبه المنحرف: نصف مجموع الضلعين المتوازيين مضروبًا في الارتفاع العمودي. حوِّل طول الحوض إلى سنتيمتر، ثم اضرب المساحة فيه لتحصل على الحجم بالسنتيمتر المكعب. اقسم على ألف لتحوِّل إلى لترات. الخطأ الشائع نسيان توحيد الوحدات قبل الضرب.
- 1Cross-section = (36 + 50)/2 × 40 = 1720 cm²
- 2Volume = 1720 × 120 = 206400 cm³
- 3206400 ÷ 1000 = 206.4 litres
Answer206.4
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
حوض ماء على شكل منشور، مقطعه العرضي شبه منحرف متساوي الساقين، وهو مملوء تمامًا. يُفرَّغ الماء بمعدل ثابت بالمليلتر في الثانية. المطلوب الزمن اللازم لتفريغه، مكتوبًا بالدقائق والثواني معًا.
كيف تحلّه؟
نحسب مساحة شبه المنحرف: نصف مجموع الضلعين المتوازيين مضروبًا في الارتفاع. نحوّل طول المنشور من المتر إلى السنتيمتر ونضربه في المساحة لنجد الحجم بالسنتيمتر المكعب، وهو يساوي الحجم بالمليلتر. نقسم الحجم على معدل التفريغ لنجد الزمن بالثواني، ثم نحوّله إلى دقائق وثوانٍ. الأخطاء الشائعة: نسيان تحويل الطول، أو كتابة الدقائق كعدد عشري.
- 1Cross-section area = (50 + 36)/2 × 40 = 1720 cm²
- 2Volume = 1720 × 120 = 206400 cm³ = 206400 ml
- 3Time = 206400 ÷ 600 = 344 seconds
- 4344 s = 5 × 60 + 44, so 5 minutes 44 seconds
Answer5 minutes 44 seconds
الجزء (ci) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
حوض ماء على شكل منشور مقطعه شبه منحرف متساوي الساقين، ممتلئ بالماء. يُفرغ كل الماء في خزان أسطواني قائم فيصل عمق الماء فيه إلى قيمة معطاة. المطلوب حساب نصف قطر الخزان.
كيف تحلّه؟
حجم الماء هو حجم الحوض: مساحة المقطع (شبه المنحرف) مضروبة في طول المنشور، بعد تحويل الطول من الأمتار إلى السنتيمترات. هذا الحجم يساوي حجم الأسطوانة حتى العمق المعطى، فساوِ بينهما. حلّ لإيجاد مربع نصف القطر ثم خذ الجذر. الخطأ الشائع: خلط الأمتار بالسنتيمترات.
- 1π × r² × 84 = 206400
- 2r² = 206400 ÷ (84π) = 782.13…
- 3r = 27.96… ≈ 28.0 cm
Answer28.0 or 27.96 to 27.97
الجزء (cii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
كل الماء في الحوض أُفرغ في خزان أسطواني قائم، فأصبح عمق الماء في الخزان معطى، والخزان ممتلئ بنسبة مئوية معروفة. المطلوب حساب ارتفاع الخزان.
كيف تحلّه؟
عمق الماء يمثل النسبة المعطاة من ارتفاع الخزان، لأن الخزان أسطواني ومقطعه ثابت. اقسم عمق الماء على النسبة بصيغتها العشرية لتحصل على الارتفاع الكامل. لا تحتاج إلى حساب حجم الحوض هنا، والفخ الشائع هو إضافة النسبة إلى العمق بدل القسمة.
- 10.6h = 84
- 2h = 84 ÷ 0.6 = 140 cm
Answer140
الجزء (d) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
حوض ماء على شكل منشور مقطعه شبه منحرف متساوي الساقين، معطاة قاعدتاه وارتفاعه وطول الحوض. قضيب يمتد من ركن سفلي في الوجه الأمامي إلى منتصف الحافة العلوية في الوجه المقابل. المطلوب: احسب طول القضيب، مع الانتباه إلى أن طول الحوض معطى بالمتر والباقي بالسنتيمتر.
كيف تحلّه؟
حوِّل طول الحوض إلى سنتيمترات أولًا. منتصف الحافة العلوية يقع فوق منتصف القاعدة السفلى، فالمسافة العرضية بين طرفي القضيب هي نصف القاعدة السفلى. القضيب قطر فراغي لصندوق أبعاده: هذه المسافة العرضية، وطول الحوض، والارتفاع؛ فاجمع مربعاتها وخذ الجذر. الخطأ الشائع هو نسيان تحويل الوحدات أو استخدام نصف القاعدة العليا.
- 1M is above the middle of the base, so horizontal distance across = 36 ÷ 2 = 18 cm
- 2AM² = 18² + 120² + 40² = 324 + 14400 + 1600 = 16324
- 3AM = √16324 = 127.76… ≈ 128 cm
Answer128 or 127.7 to 127.8
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حساب المثلثات في الفراغ: متوازي المستطيلات بالعربي
تدرّب على أسئلة حساب المثلثات في الفراغ: متوازي المستطيلات
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara