حل السؤال 12، 0580/42 أكتوبر/نوفمبر 2023: المنصف العمودي
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 42 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 11 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
معطاة نقطة الأصل وإحداثيات نقطتين. «اكتب» تعني أنه لا يلزم إظهار خطوات حل. المطلوب كتابة المتجه من نقطة الأصل إلى النقطة الثانية متجهًا عموديًا.
كيف تحلّه؟
المتجه من نقطة الأصل إلى أي نقطة مركّبتاه هما إحداثيا تلك النقطة نفسها. نكتب الإحداثي الأفقي في الأعلى والرأسي في الأسفل، داخل قوسين عموديين بلا فاصلة.
- 1→OB = column vector (2, 5)
Answercolumn vector (2, 5)
الجزء (aii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
«اكتب» تعني أنه لا يلزم إظهار خطوات حل. المطلوب كتابة المتجه من النقطة الأولى إلى النقطة الثانية متجهًا عموديًا.
كيف تحلّه؟
نطرح إحداثيات نقطة البداية من إحداثيات نقطة النهاية، كل إحداثي من نظيره. الخطأ الشائع هو الطرح بالترتيب المعاكس، فتنقلب الإشارات.
- 1→AB = (2 − 8, 5 − 1) = column vector (−6, 4)
Answercolumn vector (−6, 4)
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
لديك النقطتان أ و ب بإحداثياتهما. المطلوب معادلة الخط المار بهما على الصورة: ص يساوي الميل في س زائد ثابت، مع عرض الخطوات.
كيف تحلّه؟
احسب الميل: الفرق بين الإحداثيين الصاديين مقسومًا على الفرق بين الإحداثيين السينيين بالترتيب نفسه، فتجده كسرًا سالبًا. ثم عوّض بإحداثيي إحدى النقطتين لإيجاد الثابت. الثابت هنا كسر غير صحيح، فاتركه كسرًا ولا تقرّبه.
- 1Gradient = (5 − 1)/(2 − 8) = 4/−6 = −2/3
- 2Using (2, 5): 5 = −2/3 × 2 + c, c = 5 + 4/3 = 19/3
- 3y = −2/3 x + 19/3
Answery = −2/3 x + 19/3
الجزء (c) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
لديك النقطتان أ و ب. المطلوب معادلة المنصّف العمودي للقطعة أ ب، أي المستقيم الذي يمر بمنتصفها ويكون عموديًا عليها. اكتب الإجابة على صورة «الصادي يساوي الميل في السيني زائد الجزء المقطوع من محور الصادات».
كيف تحلّه؟
نوجد المنتصف بأخذ متوسط الإحداثيات. نستخدم ميل القطعة أ ب ونأخذ مقلوبه بإشارة معاكسة لنحصل على ميل المنصّف. نعوّض بإحداثيي المنتصف لنجد الجزء المقطوع، وانتبه إلى أنه قد يكون سالبًا وكسريًا.
- 1Midpoint of AB = ((8 + 2)/2, (1 + 5)/2) = (5, 3)
- 2Perpendicular gradient = −1 ÷ (−2/3) = 3/2
- 33 = 3/2 × 5 + c, c = 3 − 15/2 = −9/2
- 4y = 3/2 x − 9/2
Answery = 3/2 x − 9/2
الجزء (d) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المستقيم أ ب يقطع محور الصادات عند ف، والمنصّف العمودي يقطع محور الصادات عند ق. المطلوب طول القطعة ف ق. اكتب خطوات الحل.
كيف تحلّه؟
نوجد نقطة تقاطع كل مستقيم مع محور الصادات، وهي الجزء المقطوع في معادلته. للمستقيم أ ب نكتب معادلته من ميله وإحدى نقطتيه ثم نأخذ الجزء المقطوع، وللمنصّف نأخذه من الجزء السابق. النقطتان على المحور نفسه، فالطول هو الفرق بين إحداثيهما الصاديين. انتبه: إذا كانت إحداهما فوق المحور السيني والأخرى تحته فإننا نجمع المسافتين.
- 1Gradient of AB = (5 − 1)/(2 − 8) = −2/3
- 2From B(2, 5) back to x = 0: y = 5 + 2 × 2/3 = 19/3, so P = (0, 19/3)
- 3Midpoint of AB = (5, 3); perpendicular gradient = 3/2
- 4From (5, 3) back to x = 0: y = 3 − 5 × 3/2 = −9/2, so Q = (0, −9/2)
- 5PQ = 19/3 − (−9/2) = 38/6 + 27/6 = 65/6
Answer65/6
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المنصف العمودي بالعربي
تدرّب على أسئلة المنصف العمودي
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara