حل السؤال 11، 0580/42 أكتوبر/نوفمبر 2023: الدوال المركبة
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 42 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 14 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
أُعطيت ثلاث دوال، والمطلوب حساب قيمة الدالة الثانية عندما يكون المدخل ثلاثة. عوّض العدد مكان س واحسب.
كيف تحلّه؟
نضع العدد مكان س داخل القوس، نطرح أولًا ثم نربّع الناتج. التزم بترتيب العمليات: ما داخل القوس قبل التربيع.
- 1g(3) = (3 − 1)² = 4
Answer4
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب أن تضع مكان المتغير في الدالة تعبيرًا (المتغير مطروحًا منه عدد)، ثم تبسّط الناتج إلى أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
نستبدل المتغير بالتعبير كاملًا داخل قوس. نضرب العدد السالب في كل حد داخل القوس، وننتبه أن سالبًا في سالب يعطي موجبًا. ثم نجمع الأعداد الثابتة.
- 1f(x − 2) = 1 − 3(x − 2) = 1 − 3x + 6
- 2= 7 − 3x
Answer7 − 3x
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
أُعطيت عدة دوال، والمطلوب إيجاد الدالة العكسية للدالة الأولى، أي الدالة التي تُلغي عملها. اكتب جوابك بدلالة س.
كيف تحلّه؟
اكتب الدالة على صورة ص تساوي القاعدة، ثم بدّل س و ص. انقل الحد الذي فيه ص إلى طرف وحده، ثم اقسم على معامله. انتبه لإشارة السالب أمام الحد الذي فيه المجهول، فهي أكثر مكان يقع فيه الخطأ.
- 1Write y = 1 − 3x, then swap x and y: x = 1 − 3y
- 2Rearrange: 3y = 1 − x
- 3Divide by 3: f⁻¹(x) = (1 − x)/3
Answer(1 − x)/3
الجزء (d) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب أن تحسب الدالة المركبة مطروحًا منها حاصل ضرب الدالتين، وتقارن الناتج بالصورة المعطاة لتجد قيم الثوابت الثلاثة المجهولة.
كيف تحلّه؟
الدالة المركبة تعني وضع الدالة الخطية مكان المتغير في الدالة التربيعية، ويتبسّط الناتج كثيرًا. أما حاصل الضرب فهو ضرب عادي للدالتين بعد فك المربع. نطرح بحذر مع تغيير إشارة كل حد مطروح، ثم نقارن المعاملات. الخطأ الشائع هو الخلط بين التركيب والضرب.
- 1gf(x) = (1 − 3x − 1)² = 9x²
- 2g(x)f(x) = (x² − 2x + 1)(1 − 3x) = −3x³ + 7x² − 5x + 1
- 3gf(x) − g(x)f(x) = 9x² + 3x³ − 7x² + 5x − 1 = 3x³ + 2x² + 5x − 1
- 4a = 2, b = 5, c = −1
Answera = 2, b = 5, c = −1
الجزء (e) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب طرح الدالة الخطية من الدالة الكسرية، وكتابة الناتج كسرًا واحدًا في أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
نوحّد المقامات بضرب الدالة الخطية في المقام. نضع الدالة الخطية في قوس لأنها مطروحة، فتتغير إشارة كل حدودها عند فك القوس. ثم نكتب البسط مرتبًا فوق المقام.
- 13/x − (1 − 3x) = (3 − x(1 − 3x))/x
- 2= (3 − x + 3x²)/x
Answer(3 − x + 3x²)/x
الجزء (f) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المدخل في الدالة الثالثة هنا هو س مرفوعة للقوة ن، والناتج معطى على صورة ثلاثة مضروبة في قوة لـ س. المطلوب إيجاد قيمة ن.
كيف تحلّه؟
نضع س مرفوعة للقوة ن مكان س في الدالة الثالثة، فتصبح في المقام. القسمة على قوة تساوي الضرب في القوة نفسها بأس سالب. نقارن الأس الناتج بالأس المعطى فنجد ن. الفخ الشائع نسيان الإشارة السالبة.
- 13/xⁿ = 3x⁻ⁿ = 3x⁷
- 2−n = 7, n = −7
Answer−7
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الدوال المركبة بالعربي
تدرّب على أسئلة الدوال المركبة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara