حل السؤال 5، 0580/41 مايو/يونيو 2024: المنصف العمودي
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 41 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 17 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لديك النقطتان ل و ق. المطلوب كتابة المتجه من ل إلى ق على صورة متجه عمودي: الحركة الأفقية في الأعلى والحركة الرأسية في الأسفل.
كيف تحلّه؟
نطرح إحداثيات نقطة البداية ل من إحداثيات نقطة النهاية ق، أفقيًا ثم رأسيًا. الحركة إلى الأسفل تكون سالبة. انتبه للاتجاه: من ل إلى ق وليس العكس.
- 1PQ = (5 − 1, −5 − 7)
- 2= column vector (4, −12)
Answercolumn vector (4, −12)
الجزء (aii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
النقطة و هي نقطة الأصل. المطلوب أن تُثبت أن طول المتجه من و إلى ل يساوي طول المتجه من و إلى ق. «أثبت» تعني أن النتيجة معطاة، وعليك أن تكتب كل الخطوات التي توصل إليها.
كيف تحلّه؟
نحسب طول كل متجه: نربّع مركبتيه ونجمعهما ثم نأخذ الجذر التربيعي. نكتب الحسابين كاملين ونبيّن أن الناتجين متساويان. لا تكتفِ بكتابة الناتج النهائي، فالدرجات على الخطوات.
- 1|OP| = √(1² + 7²) = √(1 + 49) = √50
- 2|OQ| = √(5² + (−5)²) = √(25 + 25) = √50
- 3So |OP| = |OQ| = √50
AnswerBoth √50
الجزء (aiii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لديك نقطتان معلومتا الإحداثيات، والقطعة الواصلة بينهما وتر في دائرة مركزها نقطة الأصل. المطلوب أن تحسب محيط هذه الدائرة مع عرض خطوات الحل. الوتر قطعة مستقيمة طرفاها على الدائرة.
كيف تحلّه؟
بما أن طرفي الوتر يقعان على الدائرة، فنصف القطر هو المسافة من نقطة الأصل إلى أي منهما. احسب هذه المسافة بنظرية فيثاغورس من إحداثيي النقطة. ثم احسب المحيط بضرب نصف القطر في ضعف النسبة التقريبية. الفخ الشائع هو اعتبار طول الوتر نفسه قطرًا للدائرة.
- 1P is on the circle, so radius = OP.
- 2OP = √(1² + 7²) = √50
- 3Circumference = 2 × π × √50 = 44.428…
- 4Circumference = 44.4
Answer44.4 or 44.428… to 44.435
الجزء (aiv) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
القطعة ل ق قُطر في دائرة أخرى مركزها ر. المطلوب إيجاد إحداثيي المركز ر. اكتب خطوات الحل.
كيف تحلّه؟
مركز الدائرة يقع في منتصف أي قطر فيها، لذلك نوجد منتصف القطعة ل ق. نجمع الإحداثيين السينيين ونقسم على اثنين، ونفعل الشيء نفسه مع الإحداثيين الصاديين، مع الانتباه للإشارة السالبة.
- 1R = midpoint of PQ = ((1 + 5)/2, (7 + (−5))/2)
- 2= (3, 1)
Answer(3, 1)
الجزء (av) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب معادلة المنصّف العمودي للقطعة ل ق، أي المستقيم الذي يمر بمنتصفها ويكون عموديًا عليها. اكتب الإجابة على صورة «الصادي يساوي الميل في السيني زائد الجزء المقطوع من محور الصادات»، مع خطوات الحل.
كيف تحلّه؟
المنتصف هو نفسه المركز ر من الجزء السابق. نحسب ميل القطعة ل ق، ثم نأخذ مقلوبه بإشارة معاكسة لأن حاصل ضرب ميلي المستقيمين المتعامدين سالب واحد. نعوّض بإحداثيي المنتصف لنجد الجزء المقطوع. قد يكون الجزء المقطوع صفرًا، ويمكن حينها حذفه من المعادلة.
- 1Midpoint of PQ = ((1 + 5)/2, (7 + (−5))/2) = (3, 1)
- 2Gradient of PQ = (−5 − 7)/(5 − 1) = −12/4 = −3
- 3Perpendicular gradient = 1/3, since −3 × 1/3 = −1
- 4Through (3, 1): 1 = 1/3 × 3 + c, so c = 0
- 5y = (1/3)x
Answery = (1/3)x
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
متجها الموضع لنقطتين معلومان، أي المتجهان من نقطة الأصل إليهما. توجد نقطة على القطعة الواصلة بينهما تقسمها بنسبة معطاة. المطلوب «متجه الموضع» لهذه النقطة بدلالة المتجهين، وفي أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
نكتب متجه القطعة من النقطة الأولى إلى الثانية كفرق بين متجهي الموضع. نأخذ منه الجزء المناسب: عدد الأجزاء الأولى من مجموع الأجزاء. نبدأ من نقطة الأصل إلى النقطة الأولى ونضيف هذا الجزء، ثم نجمع الحدود المتشابهة. الفخ الشائع: أخذ الكسر من الطرف الخطأ.
- 1AB = b − a
- 2AM = 2/5(b − a)
- 3OM = a + 2/5(b − a)
- 4= 3/5 a + 2/5 b
Answer3/5 a + 2/5 b
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المنصف العمودي بالعربي
تدرّب على أسئلة المنصف العمودي
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara