حل السؤال 14، 0580/41 أكتوبر/نوفمبر 2025: المساحة السطحية لمتوازي المستطيلات والأسطوانة
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 41 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 10 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
كرة معدنية داخل مكعب وتلمس جميع أوجهه، وطول حرف المكعب معطى. «أثبت أن» تعني أن تصل بخطوات واضحة إلى قيمة الحجم المعطاة في السؤال.
كيف تحلّه؟
بما أن الكرة تلمس الأوجه المتقابلة، فقطرها يساوي طول حرف المكعب، ونصف قطرها نصفه. عوّض في قانون حجم الكرة: أربعة أثلاث باي في مكعب نصف القطر، واترك الجواب بدلالة باي. الفخ: استخدام القطر بدل نصف القطر.
- 1The sphere touches all faces, so radius = 8 ÷ 2 = 4 cm
- 2Volume = 4/3 × π × 4³ = 256/3 π cm³
Answer4/3 × π × 4³ = 256/3 π
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
كرة معدنية مصمتة داخل مكعب وتمس أوجهه الستة، وطول ضلع المكعب معطى. المطلوب النسبة المئوية من حجم المكعب التي لا تشغلها الكرة.
كيف تحلّه؟
بما أن الكرة تمس كل الأوجه، فقطرها يساوي ضلع المكعب، ونصف قطرها نصفه. احسب حجم المكعب وحجم الكرة، واطرح لتجد الحجم غير المشغول. اقسمه على حجم المكعب واضرب في مئة. الخطأ الشائع استعمال ضلع المكعب نصف قطر للكرة، أو إعطاء نسبة الجزء المشغول.
- 1Cube volume = 8³ = 512 cm³, sphere = 256/3 π = 268.08… cm³
- 2Not occupied = 512 − 268.08… = 243.91… cm³
- 3243.91… ÷ 512 × 100 = 47.64… ≈ 47.6%
Answer47.6 or 47.63 to 47.64…
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
كرة معدنية مصمتة داخل مكعب وتلامس كل أوجهه، وتعرف طول ضلع المكعب وكثافة المعدن. المطلوب كتلة الكرة، مكتوبة بالكيلوغرام. الكثافة تساوي الكتلة مقسومة على الحجم.
كيف تحلّه؟
لأن الكرة تلامس كل الأوجه، فقطرها يساوي ضلع المكعب، ونصف قطرها نصفه. نحسب حجم الكرة بالقانون: أربعة أثلاث مضروبة في ط مضروبة في مكعب نصف القطر. نضرب الحجم في الكثافة فنحصل على الكتلة بالغرام، ثم نقسم على ألف لنحوّلها إلى الكيلوغرام. الخطأ الشائع استخدام القطر بدل نصف القطر.
- 1The sphere touches every face, so its diameter is 8 cm and radius 4 cm.
- 2Volume = 4/3 × π × 4³ = 256π/3 cm³
- 3Mass = volume × density = 256π/3 × 7.86 = 2107.1… g
- 4Divide by 1000 for kg: 2.107… ≈ 2.11 kg
Answer2.11 or 2.107…
الجزء (d) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
تُصهر الكرة وتُصنع منها أسطوانة مصمتة معطى نصف قطرها. «تُصهر» تعني أن الحجم يبقى كما هو. المطلوب المساحة الكلية لسطح الأسطوانة.
كيف تحلّه؟
حجم الأسطوانة يساوي حجم الكرة، فاكتب حجم الأسطوانة (باي في مربع نصف القطر في الارتفاع) وساوِه بحجم الكرة لتجد الارتفاع. ثم احسب المساحة الكلية: القاعدتان الدائريتان والسطح الجانبي (المحيط في الارتفاع). الفخ: نسيان القاعدتين، أو التقريب المبكر للارتفاع.
- 1π × 3.1² × h = 256/3 π, so h = 256/3 ÷ 9.61 = 8.879… cm
- 2Two ends = 2 × π × 3.1² = 60.38… cm²
- 3Curved surface = 2 × π × 3.1 × 8.879… = 172.95… cm²
- 4Total = 60.38… + 172.95… = 233.3… ≈ 233 cm²
Answer233 or 233.3 to 233.4
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المساحة السطحية لمتوازي المستطيلات والأسطوانة بالعربي
تدرّب على أسئلة المساحة السطحية لمتوازي المستطيلات والأسطوانة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara